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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 人教版初三数学旋转模型(含详细解析)
1/15旋转模型授课日期时间主题教学内容1.巩固并掌握旋转的性质;2.结合辅助线的构造,更深刻的认识旋转的性质;知识结构知识结构1、在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转2、►旋转具有以下特征:(1)图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度;(2)对应点到旋转中心的距离相等;(3)对应角、对应线段相等;(4)图形的形状和大小都不变。3、旋转的思想:旋转也是图形的一种基本变换,通过图形旋转变换,从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置,使问题获得简单的解决,它是一种要的解题方法。4、旋转不同类型(一)正三角形类型在正ABC中,P为ABC内一点,将ABP绕A点按逆时针方向旋转60,使得AB与AC重合。经过这样旋转变化,将图(1-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(1-1-b)中的一个'PCP中,此时'PCP也为正三角形。2/15【例题】如图:(1-1):设P是等边ABC内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,APB的度数是________.1509060.3,'''''''PBPAPPAPBRTPBPAPPCAPBAPBPAPAPCAPBAPABC△为为正三角形,△。易证△△则△,连结且的外侧,作简解:在△‘(二)正方形类型在正方形ABCD中,P为正方形ABCD内一点,将ABP绕B点按顺时针方向旋转90,使得BA与BC重合。经过旋转变化,将图(2-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(2-1-b)中的'CPP中,此时'CPP为等腰直角三角形。【例题】如图(2-1):P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3。求此正方形ABCD。3/15面.8292132324422180909090,23,21,,,SSSSPFCRTEPARTEPFRTABCDRTEPFFPEPEFEPFDFDFEDEFFDEADCFDCEDAEDFPBCPBAPBCFDCPBAEDAPFPEAPEAPBPCDFCDFCABPADEEPAPAEBAPDAEAED△△△正方形△为可知△由勾股定理的逆定理,,,中,在△,在一条直线上、、点又同理,为等腰三角形,又易证△。△且有△同样方法,作△△则△连结使作△简解:(三)等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ABC中,90C,P为ABC内一点,将APC绕C点按逆时针方向旋转90,使得AC与BC重合。经过这样旋转变化,在图(3-1-b)中的一个'PCP为等腰直角三角形。4/15【例题】如图,在ABC中,∠ACB=900,BC=AC,P为ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2。求BPC的度数。13590459022132,''''''''''PBPCPPBPCPBPRTPBPPPBPBPPBPCPPRTACPBCPPPCPCPACPBCPABCRT△,为知,△由勾股定理的逆定理可,,,中,在△为等腰直角三角形,△。易证△则△,,连结且的外侧,作△简解:在’‘典型例题利用旋转的特征,可巧妙解决很多数学问题,如一.求线段长.例1.如图,已知长方形ABCD的周长为20,AB=4,点E在BC上,且AE⊥EF,AE=EF,求CF的长。【解析】:将△ABE以点E为旋转中心,顺时针旋转90°,此时点B旋转到点B'处,AE与EF重合,由旋转特征知:B'E⊥BC,四边形B'ECF为长方形,∴CE=BF'=AB∵CF+CE=B'E+CE=BE+EC=BC=65/15∴CF=BC-CE=6-4=2二.求角的大小例2.如图,在等边ABC中,点E、D分别为AB、BC上的两点,且BECD,AD与CE交于点M,求AME的大小。【解析】:因为BCAC,60ABCACD,BECD所以以ABC的中心(等边三角形三条中线的交点)O为旋转中心,将ADC顺时针旋转120就得到了CEB,∴∠AME=180°-∠AMC=180°-120°=60°三.进行几何推理例3.如图,点F在正方形ABCD的边BC上,AE平分DAF,请说明DEAFBF成立的理由。数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法,在平移和旋转中的应用也相当的广泛,一般可以归结为两种思想——对称的思想和旋转的思想,具体的分析如下:6/15例4、如图,正方形ABCD内一点P,∠PAD=∠PDA=15°,连结PB、PC,请问:ΔPBC是等边三角形吗?为什么?【分析】:本题关键是说明∠PCD=∠PBA=30°,利用条件可以设想将ΔAPD绕点D逆时针方向旋转90°,而使A与C重合,此时问题得到解决.【解析】:将ΔAPD绕点D逆时针旋转90°,得ΔDP’C,再作ΔDP’C关于DC的轴对称图形ΔDQC,得ΔCDQ与ΔADP经过对折后能够重合。∵PD=QD∴∠PDQ=90°-15°-15°=60°,∴△PDQ为等边三角形,∴∠PQD=60°.∵∠DQC=∠APD=180°-15°-15°=150°,∴∠PQC=360°-60°-150°=150°=∠DQC,,∵PQ=QD=CQ,∴∠PCQ=∠DCQ=15°∴∠PCD=30°∴∠PCB=60°∵PC=BC=CD∴ΔPBC为等边三角形例5、已知:如图,E是正方形ABCD的边BC上一点,AF平分∠EAD交CD于点F,说明AE=BE+DF的理由。7/15【分析】:由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中,可利用旋转变换,将其放到一个三角形中。【解析】:把△ADF绕点A顺时针旋转90°,则点D转到了点B的位置,点F转到了点F'的位置,根据旋转的性质得:∠3=∠1,F'B=FD,∠AF'B=∠AFD∵ABCD为正方形∴∠D=∠ABF'=90°∴F'、B、E、C在一条直线上又∵∠1+∠2+∠EAB=90°∴∠3+∠2+∠EAB=90°∴∠F'AE+∠2=90°又∵∠AFD+∠1=90°∴∠AF'B+∠1=90°∵∠1=∠2∴∠F'AE=∠AF'B∴AE=F'E=F'B+BE=FD+BE例6、如图,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针旋转90°,使AB与CB重合,BP到达BP'处,AP到达CP'处,若AP的延长线正好经过P',求∠APB的度数。【分析】:此题运用旋转将△ABP绕点B顺时针旋转90°,根据旋转性质求出∠BP'C的度数即可。而∠BP'C又是∠BP'P与∠CP'P之和,可各个击破,从而得解。【解析】:由旋转的性质及特征可知:∠PBP'=90°,AP⊥P'C,BP=BP'∴在△BPP'中,∠∠BPPBPP''1218090458/15又∵AP的延长线正好经过P'点∴∠AP'C=90°∴∠BP'C=∠AP'C+∠BP'P=135°从而可得∠APB=135°例7、已知:如图,E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点,且AE⊥FG。求证:AE=FG【分析】:AE、FG所在位置不易证明相等,可将其一改变位置,如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。【证明】:延长AB至F'使BF'=BE,连结CF'∵正方形ABCD∴AB=CB,∠ABC=90°又∵∠CBF'=90°,BE=BF'∴△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF'∴AE=CF',AE⊥CF'∵FG⊥AE∴FG∥CF'又∵正方形ABCD,AB∥CD∴四边形GFF'C为平行四边形∴CF'=FG∴AE=FG例8、如图,P是正方形ABCD中AC上一点,PE⊥AD于E,PF⊥CD于F。求证:(1)OE⊥OF(2)OE=OF【分析】:充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。9/15【证明】:∵正方形ABCD∴∠ADC=90°,∠DAC=45°∵DE⊥AD,∴∠PED=90°∵PF⊥CD,∴∠PFD=90°∴四边形EPFD为矩形∴PE=DF又∵∠PED=90°,∠DAC=45°∴∠APE=45°∴△AEP中,AE=PE∴AE=DF∵正方形ABCD为中心对称图形∴△AOD绕点O顺时针旋转90°与△DOC重合∴A与D为对应点又∵AE=DF∴E与F为对应点由旋转变换的特征知:OE⊥OF,OE=OF例9.△ABC为等边三角形,点D、E、F分别在边AC、AB、BC上,且AE=BF=CD,连结AF、BD、CE,分别交于点G、H、M。(1)求∠1的度数;(2)判断△GMH的形状。【分析】:等边三角形是旋转对称图形,且每个角都是60°,∠1是△BCH的外角,可知∠1=∠2+∠3。而∠2=∠4∴∠1=∠4+∠3=60°,从而得证。【解析】:(1)∵等边△ABC是旋转对称图形,且AE=BF=CD所以,△ABC绕旋转中心旋转120°后,△AEC、△BFA、△CDB能够重合∴∠2=∠4由∠1=∠2+∠3∴∠1=∠4+∠3=60°(2)同理可得:∠GMH=∠MGH=60°∴△GMH是等边三角形10/15观察思考:旋转是几何变换中的基本变换,它一般先对给定的图形或其中一部分,通过旋转,改变位置后得新组合,然后在新的图形中分析有关图形之间的关系,进而揭示条件与结论之间的内在联系,找出证题途径。一、选择题1.在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()2.如图,该图形围绕自己的旋转中心,按下列角度旋转后,不能..与其自身重合的是()A.72B.108C.144D.2163.在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、正五角星、圆、正方形和等边三角形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的图形有()A.3个B.4个C.5个D.6个4.下列命题中的真命题是()A.全等的两个图形是中心对称图形.B.关于中心对称的两个图形全等.C.中心对称图形都是轴对称图形.D.轴对称图形都是中心对称图形.5.如右图,四边形ABCD是正方形,ΔADE绕着点A旋转900后到达ΔABF的位置,连接EF,则ΔAEF的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.如图是万花筒的一个图案,图中所有小三角形均是全等三角形,其中把菱形ABCD以A.B.C.D.(第9题)FEDCBA11/15A为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形()A.顺时针旋转60°B.顺时针旋转120°C.逆时针旋转60°D.逆时针旋转120°二、填空题7、如图,一块等腰直角的三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ABC的位置,使ACB,,三点共线,那么旋转角度的大小为8.如图,△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形,点C恰好在AB上,∠AOD=90°,则∠D的度数是.9.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90゜后,得到矩形AB′C′D′,如果CD=2DA=2,那么CC′=_________.10.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案(图案本身没有字母)则至少旋转____________度后能与原来图形重合.三、解答题11.画出下列图形关于点O的对称图形(10分)ABACB(第12题)ODCBA(第13题)B'D'C'DCBA(第14题)(第15题)(第13题)CABD(第10题)12/1512.如图所示,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上(15分)(1)把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△111CBA,画出△111CBA(2)以原点O为对称中心,再画出与△111CBA关于原点O对称的△222CBA(3)写出点222CBA坐标探究题:1.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.(15分)若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连接DG,在旋转的过程中,你能否从线段AE、BE和AB中找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.ABCOxy(第17题)·OBCA(第16题)图1GFED
本文标题:人教版初三数学旋转模型(含详细解析)
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