指数函数及其性质-习题(含答案)

试卷第1页，总3页指数函数及其性质习题（含答案）一、单选题1．在同一坐标系内，函数𝑦=𝑥𝑎(𝑎≠0)和𝑦=𝑎𝑥+1𝑎的图象可能是()A．B．C．D．2．已知函数𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥+𝑒−𝑥)ln1−𝑥1+𝑥−1，若𝑓(𝑎)=1，则𝑓(−𝑎)=（）A．1B．−1C．3D．−33．已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax＋b的图象大致是()A．B．.C．D．4．已知𝑎=log40.7，𝑏=log23，𝑐=0.20.6，则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系是()A．𝑐𝑏𝑎B．𝑎𝑐𝑏C．𝑏𝑎𝑐D．𝑎𝑏𝑐5．函数𝑦=𝑎𝑥+1−3（𝑎0，且𝑎≠1）的图象一定经过的点是()A．(0，−2)B．(−1,−3)C．(0，−3)D．(−1,−2)6．在同一坐标系中，函数𝑦=2−𝑥与𝑦=−log2𝑥的图象都正确的是（）A．B．C．试卷第2页，总3页D．7．设𝑎=20.5,𝑏=0.52,𝑐=log20.5，则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系为A．𝑐𝑎𝑏B．𝑐𝑏𝑎C．𝑎𝑏𝑐D．𝑏𝑎𝑐8．若01ab，则ba，ab，logba，1logab的大小关系为（）A．1loglogbabaababB．1loglogabbababaC．1loglogbabaaabbD．1loglogabbaabab9．若𝑎，𝑏，𝑐满足2𝑎=3，𝑏=log25，3𝑐=2，则（）A．𝑐𝑎𝑏B．𝑏𝑐𝑎C．𝑎𝑏𝑐D．𝑐𝑏𝑎二、填空题10．已知：12aa，则22aa__________．11．函数2xfx在1,3上的最小值是__________．12．函数y=ax+2-1(a0且a≠1)的图象恒过定点________.13．求值：2log323−log3427−31+log32=__________．14．函数𝑓(𝑥)=(12)−𝑥2+2𝑥+1的单调减区间为________．15．238__________，2log2__________.16．计算：22321log1827log3__________．17．若函数23xfxa在R上是减函数，则实数a的取值范围是________18．已知函数xfxab0,1aa的定义域和值域都是1,0，则ba__________．三、解答题19．（1）计算：(−3)−(1−0.5−2)÷(338)13；（2）已知𝑎=log32,3𝑏=5用𝑎,𝑏表示log3√30．试卷第3页，总3页20．(1)24013log3321140.25222(2)已知15aa,求22aa和1122aa的值.21．计算：（1）213013210.0271632317.（2）181125121511010.01gggggg.22．化简求值(1)(827)23+(0.008)−23×225(2)12523+(12)−2−(127)−13+10012+lg3+14lg9−lg√3lg81−lg2723．已知定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)=𝑏−2𝑥2𝑥+𝑎是奇函数．⑴求𝑎 ，  𝑏的值，并判断函数𝑓(𝑥)在定义域中的单调性（不用证明）；⑵若对任意的𝑡∈𝑅，不等式𝑓(𝑡2−2𝑡)+𝑓(2𝑡2−𝑘)0恒成立，求实数𝑘的取值范围．24．若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1(𝑎0,且𝑎≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数𝑎的值.25．（本小题满分10分）已知函数𝑓(𝑥)=log4(4𝑥+1)+𝑘𝑥(𝑘∈𝑅)是偶函数．（1）求实数𝑘的值;（2）设𝑔(𝑥)=log4(𝑎⋅2𝑥+𝑎),若𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)有且只有一个实数解,求实数𝑎的取值范围．26．计算：(1)(−338)−23+0.002−12−10(√5−2)−1+(√2−√3)0；(2)lg5(lg8＋lg1000)＋3lg22＋lg16＋lg0.06.27．已知𝑓(𝑥)=4𝑥−1−2𝑥+5,𝑥∈[−2,2]．（1）求𝑓(𝑥)的值域．（2）若𝑓(𝑥)3𝑚2+𝑎𝑚+2对任意𝑎∈[−1,1]和𝑥∈[−2,2]都成立，求𝑚的取值范围．28．计算下列各式的值;(1)1223213231.548.(2)12133232xyxy.答案第1页，总11页参考答案1．B【解析】【分析】分两种情况讨论，利用函数的单调性，筛选排除即可得结果【详解】若𝑎0,𝑦=𝑥𝑎在(0,+∞)递增，排除𝐴,𝐵选项，𝑦=𝑎𝑥+1𝑎递增，排除𝐷；纵轴上截距为正数，排除𝐶，即𝑎0时，不合题意；若𝑎0，𝑦=𝑥𝑎在(0,+∞)递减，可排除𝐶,𝐷选项，由𝑦=𝑎𝑥+1𝑎递减可排除𝐴，故选B.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及𝑥→0+,𝑥→0−,𝑥→+∞,𝑥→−∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.2．D【解析】分析：先化简𝑓(𝑎)=1得到(𝑒𝑎+𝑒−𝑎）ln1+𝑎1−𝑎=−2，再求𝑓(−𝑎)的值.详解：由题得(𝑒𝑎+𝑒−𝑎）ln1−𝑎1+𝑎−1=1,∴(𝑒𝑎+𝑒−𝑎）ln1−𝑎1+𝑎=2,∴−(𝑒𝑎+𝑒−𝑎）ln1+𝑎1−𝑎=2,∴(𝑒𝑎+𝑒−𝑎）ln1+𝑎1−𝑎=−2.所以𝑓(−𝑎)=(𝑒−𝑎+𝑒𝑎）ln1+𝑎1−𝑎−1=−2−1=−3.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.3．D【解析】【分析】根据二次函数的图象得到−1𝑏0,𝑎1,继而得到𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏的图象经过一二三象限，答案第2页，总11页问题得以解决.【详解】因为𝑎,𝑏是二次函数的零点，由二次函数𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)（其中𝑎𝑏）的图象可知−1𝑏0,𝑎1，所以𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏的图象经过一二三象限，只有选项𝐷符合题意，故选D.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象4．B【解析】【分析】利用指数与对数的单调性与中间量0，1可求得三个数大小。【详解】由题意可得log40.7log41=0,log23log221,00.20.60.20=1，所以𝑏𝑐𝑎，选B.【点睛】本题考查的是比较指数式及对数式值的大小，构造合适函数，利用指数函数与对数函数的性质及单调性，结合中间量是常用方法。5．D【解析】由题意，过定点(−1,−2)，故选D。6．A【解析】分析：利用指数函数的单调性和对数函数与指数函数的对称性可得解.详解：因为𝑦=2−𝑥=(12)𝑥，.所以函数单调递减，排除B，D.𝑦=(12)𝑥与𝑦=−log2𝑥=log12𝑥的图象关于𝑦=𝑥轴对称.排除A.故选A.答案第3页，总11页点睛：对于指数函数𝑦=𝑎𝑥，当𝑎1时函数单增；当0𝑎1时函数单减；指数函数𝑦=𝑎𝑥与对数函数log𝑎𝑥互为反函数，关于𝑦=𝑥对称.7．C【解析】分析：利用指数函数y=2x、y=0.5x及对数函数y=log2x的单调性，即可比较出三个数的大小．详解：∵0＜0.52＜1，20.5＞1，log20.5＜0，∴a＞b＞c，故选：C．点睛：本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键．8．D【解析】因为01ab，所以10aabbaa.loglog1bbab.01a,所以11a,1log0ab.综上：1loglogabbaabab.故选D.9．A【解析】分析：先利用指数函数的单调性确定𝑎,𝑐的取值范围，再通过对数函数的单调性确定𝑏的范围，进而比较三个数的大小．详解：因为2𝑎=3∈(2,22)，所以1𝑎2，因为3𝑐=2∈(1,3)，所以0𝑐1，又𝑏=log25log24=2，所以𝑐𝑎𝑏．点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．答案第4页，总11页10．2【解析】由题意得222122222aaaa.11．12【解析】2xfx在13，上单调递增最小值为11122f12．(-2,0)【解析】分析：利用𝑎0=1(𝑎0且𝑎≠1)即可得出.详解：令𝑥=−2，则函数𝑓(0)=𝑎−2+2−1=0，∴函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+2−1的图象必过定点(−2,0).故答案为：(−2,0).点睛：本题考查了指数函数的性质和𝑎0=1(𝑎0且𝑎≠1)，属于基础题.13．-5【解析】分析：直接利用对数与指数的运算法则求解即可.详解：2log323−log3427−31+log32=2(log32−1)−(log34−3)−3log36=2log32−2−2log32+3−6=−5，故答案为−5.点睛：本题主要考查对数与指数的运算法则，意在考查计算能力以及对基本运算法则的掌握情况，属于简单题.14．(－∞，1]【解析】【分析】根据题意，设𝑢=−𝑥2+2𝑥+1，则𝑦=(12)𝑢，由二次函数和指数函数的性质分析可得𝑢=−𝑥2+2𝑥+1以及𝑦=(12)𝑢的单调区间，由复合函数的单调性分析可得答案．【详解】设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝u在R上为减函数，所以函数f(x)＝－x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．答案第5页，总11页又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]．故答案为(−∞,1].【点睛】本题主要考查函数单调性的应用、二次函数的图象和性质等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．复合函数的单调性的判断方法，即同增异减，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.15．412【解析】2232338224，12221log2log22.故答案为：4，12.16．7【解析】由222232223322221loglog181log18log92log32273997log3log3log3log3。17．322，【解析】∵函数23xfxa在R上是减函数,∴0231a,解得322a。∴实数a的取值范围是3,22。答案：3,2218．4【解析】当1a时，函数fx单调递增，所以函数fx过点(-1,-1)和点(0,0)，所以101{0abab无解；答案第6页，总11页当01a时，函数fx单调递减，所以函数fx过点(-1,0)和点(0,-1)，所以100{1abab，解得1{22ab.所以4ba19．（1）3（2）【解析】【分析】：⑴利用指数、有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）利用指数与对数的互化以及对数的运算性