九年级数学中考第一轮(七)圆鲁教版知识精讲.doc

用心爱心专心九年级数学中考第一轮（七）圆鲁教版【本讲教育信息】一.教学内容：中考第一轮（七）圆二.知识学习：1.圆的基础知识①圆的有关概念：弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧（隐含同圆等圆），弦心距，直径等。②圆的确定圆心决定位置，半径决定大小，不共线的三点确定一个圆。注意：作图（两边中垂线找交点），三角形外心的位置，外心到三角形各顶点距离等③圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性2.圆与其它图形1点与圆三种2直线与圆①一条直线与圆三种②两条直线与圆③三条直线与圆三角形内切圆与圆外切三角形三角形内心（角平分线交点）位置永远在三角形内部，到三角形各边距离相等④四条直线与圆圆外切四边形两组对边的和相等ABDCADBC3两圆与直线两圆外切时连心线过内公切线，切点与该切线垂直。两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。两圆相交时，连心线垂直于公共弦，并且平分公共弦。3.定理1垂径定理及推论：过圆心；垂直弦；平分弦（非直径）；平分优弧；平分劣弧；2求3。2圆心角，弦，弦心距，弧之间关系：同圆等圆中知1得3。3与圆有关的角：圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角，圆内接四边形外角，内对角，对角4切线的判定、性质：①判定：常见的证法连半径，证垂直，判断切线，“连垂切”或作垂直证d＝r②性质：若一条直线满足过圆心、过切点，垂直于切线中任意两条，可得另外一条。用心爱心专心常见“切连垂”5切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角4.和圆有关的计算1求线段①直径、半径②垂径定理：求弦长、弦心距、拱高③切线长④直角三角形内切圆半径⑤任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系⑥等边三角形内切圆半径：外接圆半径=1：2⑦与圆有关的比例线段、弦长、切线长等2求角圆心角，圆周角，弦切角，两切线夹角，公切线夹角3正多边形的有关计算正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。如图所示，设正n边形的中心角为α，半径为R，边长为an，边心距为rn，周长为Pn，面积为Sn，则由有关图形的性质可以推得：（1）n1802，n360（2）n180R2ansin（3）n180Rrncos（4）2n2n22arR（5）nnnaP（6）nnnnnPr21arn21S4与圆有关的计算公式（1）圆的周长：R2C；（2）弧长：l180Rn（3）圆的面积：2RS；（4）扇形面积：lR21360RnS2扇形（5）弓形面积：扇形面积等腰三角形的面积。（6）圆锥的侧面展开图的面积与全面积的计算5.常见辅助线（1）过圆心作弦的垂线（如图①所示）；（2）连半径（如图②所示）；（3）连接圆上有关的点，构成直径所对的圆周角（如图③所示）；（4）连接圆上的点，构成圆周角（如图④所示）。用心爱心专心（1）（2）（3）（4）OOOO①②③④（5）遇到有切线时，一般要引过切点的半径（如图1）所示）（6）判定直线为圆的切线时①如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；②如果已知直线与圆是否有公共点在条件中没有给出，那么作垂直，证半径；（7）遇到过圆外一点作圆的两条切线时，常常引这点到圆心的连线及过切点的半径（如图2）所示）；（8）两圆相切时，一般引连心线（如图3）、4）所示）（9）两圆相交时，一般引公共弦与连心线（如图5）所示）；1）2）3）4）5）6.圆中常见图形直角三角形等腰三角形圆内接四边形相似三角形【典型例题】例1.（有关弦、半径、圆心到弦的距离之间的计算）（1）如图，在⊙O中，弦AB＝60，弓高CD＝9，求OC用心爱心专心OADBC（2）如图所示，OC为圆O的半径，M是OC的中点，弦AB⊥OC于M，如果OC=4，求AB的长。（3）在半径为2的⊙O中，弦AB的长为22，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是__________。例2.（圆心角、弧、弦和弦心距定理的应用）如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE＝BF，请你找出弧AC与弧BD的数量关系，并给予证明．例3.（圆周角与圆心角）1.如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝40°，则∠OBC的度数是________2.如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB等于____________º。用心爱心专心3.如图，在圆O中，AOB的度数为mC，是ACB上一点，D、E是AB上不同的两点（不与AB，两点重合），则DE的度数为（）A．mB．1802mC．902mD．2m4.如图所示，在圆O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°，求圆O的直径。5.如图，ABC△是⊙O的内接三角形，ACBC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CECD．（1）求证：AEBD；（2）若ACBC，求证：2ADBDCD．答案：证明：（1）在ABC△中，CABCBA．在ECD△中，CABCBA．CBACDE，（同弧上的圆周角相等）ACBECD．．ACEBCD．在ACE△和BCD△中，ACEBCDCECDACBC；；ACEBCD△≌△．AEBD．（2）若ACBCACBECD⊥，．9045ECDCEDCDE，．2DECD又ADBDADEAED2ADBDCD用心爱心专心例4.（圆锥和它的侧面展开图）如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（）A．60B．90C．120D．180例5.（点与圆的位置关系）如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，32），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为（）A．5823,B．13,C．5954,D．31,例6.（直线与圆的位置关系）在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，以A为圆心，4cm为半径作圆A，则直线BC与圆A的位置关系是______________________。例7.（两圆的位置关系）1.两圆相切，圆心距为7cm，其中一圆的半径为5cm，则另一圆的半径为cm。2.如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t-11．（2）两圆相切可分为如下四种情况：①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝311；③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；用心爱心专心④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．所以，点A出发后3秒、311秒、11秒、13秒两圆相切．3.如图所示，圆O1与圆O2相交于点A、B，过A点的直线分别交两圆于点C、D，点M是CD的中点，直线BM分别交两圆于点E、F。求证：（1）CE//DF；（2）ME=MF分析：遇到两圆相交时，可连公共弦AB，由∠B为桥梁，把∠C与∠D联系起来，从而解决问题。证明：（1）如图所示，连接AB，在圆O1中，∠C=∠B在圆O2中，∠B=∠D，∴∠C=∠D∴CE//DF（2）∵∠C=∠D，CM=DM，∠CME=∠DMF∴DFMCEM△△∴ME=MF例8.（三角形的内切圆与外接圆）（1）如图，若点O是△ABC的外心，∠BOC＝100°，则∠A＝°（2）若点O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠A＝°（3）若点O既是△ABC的外心又是△ABC的内心，则△ABC是三角形。例9.（圆的切线的性质）1.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB上的一点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点D，E．⑴求⊙O的半径；用心爱心专心⑵求sin∠BOC的值．ADOEBC解：⑴连接OD、OE，设OD＝r．∵AC、BC切⊙O于D、E，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，OD＝OE解法一：又∵∠ACB＝90°，∴四边形是ODCE为正方形，∴CD＝OD＝OE＝r，OD∥BC，∴AD＝4－r，△AOD∽△ABC，∴ADODACBC，即,244rr∴．解法二：∵AOCBOCABCSSS△△△，∴BCACOEBCODAC212121，即2421221421rr，∴．⑵过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC与Rt△OEC中，根据勾股定理，得522422AB，234343422OC，由CFABBCAC2121，得554ABBCACCF∴10103243554sinOCCFBOC，即10103sinBOC．2.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，120ACD∠，10BD．（1）求证：CACD；（2）求⊙O的半径．用心爱心专心答案：解：（1）连结OC．DC切⊙O于点C，90OCD．又120ACD，ACOACDOCD1209030．OCOA，30AACO60COD．30D，CADC．（2）sinOCOCOBDODOBBDOBBD，1sinsin302D，1102OBOB．解得10OB．即⊙O的半径为10．例10.（圆的切线的判定）1、如图所示，ABC△是直角三角形，90ABC，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结DE．（1）求证：DE与圆O相切；（2）若圆O的半径为3，3DE，求AE．2、已知：如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D。求证：AC是圆O的切线。说明：判定直线为圆的切线时，主要用添加辅助线的方法：①如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；②如果已知直线与圆是否有公共点在条件中没有给出，那么作垂直，证半径（如此例）。【模拟试题】（答题时间：80分钟）一.选择题用心爱心专心1.如图，BD为⊙O的直径，∠A＝30°，则∠CBD的度数为（）A.30°B.60°C.80°D.120°2.如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（）A.100°B.110°C.120°D.130°3.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于（）A.80°B.50°C.40°D.20°4.半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为12，则角α所对的弦长等于（）A.42B.10C.8D.65.若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆的直径是（）A.8B.10C.5或4D.10或86.如图，OAB是以6cm为半径的扇形，AC切弧AB于点A交OB的延长线于点C，如果弧AB的长等于3cm，AC＝4cm，则图中阴影部分的面积为（）A.15cm2B.6cm2C.4cm2D.3cm27.用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）A.10cmB.30cmC.45cmD.35cm8.已知⊙O的半径为5cm，如果一条直线上的点和圆心O的距离为5cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A.相切B.相交C.相交或相切D.相离9.点P到△ABC各边的距离相等，则点P是△ABC的（）A.内心B.外心C.中心D.垂心10.如图，PA、PB分别是⊙O的两条切线，切点是A、B，点C在⊙O上，若∠P＝50°，则∠ACB＝（）用心爱心专心A.40°B.50°C.65°D.130°二.填空题1.已知扇形的