Hermite插值公式

15.5Hermite插值公式§Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.为了保证插值多项式能更好地逼近，对增加一些约束条件，例如要求在某些结点处与相切，即具有相同的导数值.)(xPn)(xf)(xPn)(xPn)(xf一、Hermite插值问题求一个次数不大于n+r+1的代数多项式，满足：)(xHnixfxHii,,2,1,0),()()(,,2,1,0),()(nrrixfxHii------(1)2称以上的插值问题为Hermite插值问题.注意：式(1)包含n+r+2个条件，所以能够确定次数不大于n+r+1的代数多项式.)(xH二、Hermite插值公式推导令rkkknkkkxfxhxfxhxH00)()()()()(------(2)其中，都是n+r+1次待定多项式，并且它们满足以下条件：.),,1,0()(),,1,0()(rkxhnkxhkk和3rinkxhnkikikixhikik,,1,0;,,1,0,0)(,,1,0,01)(nirkxhrkikikixhikik,,1,0;,,1,0,0)(,,1,0,01)(------(3)------(4)显然满足条件(3),(4)的多项式(2)的次数不大于n+r+1次，且满足插值条件(1).1.求解),1,0()(nkxhk由条件(3)知是的二重零点.);,,1,0(kirixi)(xhk4且由条件(3)知是的零点.);,,2,1(kinrrixi)(xhk具有如下形式：时当)(,0)1(xhrkknriirkiiinrrkkkxxxxBAxxxxxxxxxxxxxBAxxh10212212120)()()()()()()()())(()(其中，A,B是待定系数0)(,1)()3(kkkkxhxh知由条件即------(5)51)()()(102nriikrkiiikkxxxxBAx0)()()()()()()(2)()(11021020102nrjnjiriikrkiiikknriikrkijiiikrjjkknriikrkiiikxxxxBAxxxxxxxBAxxxxxA由上述两式解得：6nriikrkiiiknrjjkrjjkxxxxxxxxA10210)()(112nriikrkiiikkxxxxAxB102)()(1将A,B代入式(5)，得rkxlxlxlxlxxxhkrknkkrkknkk,,1,0)()()]}()()[(1{)(------(6)7其中，nkiiikiknxxxxxl0)(rkiiikikrxxxxxl0)(nkiiikkknxxxl01)(rkiiikkkrxxxl01)(8具有如下形式：时当)(,1)2(xhnkrknkiriiriikxxxxCxh102)()()(------(7)1)()3(kkxh知由条件nkiriikriikxxxxC102)()(1将C代入式(7)，得nrrkxlxwxwxhknkrrk,,2,1),()()()(-(8)9riirxxxw0)()(riikkrxxxw0)()(nkiiikiknxxxxxl0)(其中，2.求解综合(1)(2)得到即式(6),(8)),1,0()(nkxhk),1,0()(nkxhk由条件(4)知是的二重零点.);,,1,0(kirixi)(xhk10且由条件(4)知是的零点.),,2,1,(nrrkixi)(xhk具有如下形式：时当)(,0xhrkkrkiiiniikxxxxDxh00)()()(1)()4(kkxh知由条件rkjjrjikiiikniiknjrkiiiknjiiikxxxxxxxxD000000)()()()(1-----(9)将D代入式(9)，得rkxlxlxxxhkrknkk,,1,0),()()()(-----(10)11nkiiikiknxxxxxl0)(其中，rkiiikikrxxxxxl0)(由式(2)(6)(8)(10)所表示的多项式称为Hermite插值多项式其中由式(6)(8)(10)所表示的多项式称为Hermite插值基函数存在而且唯一的解插值问题式定理)()1(1xHHermite证明：12存在性已由上面推导，下证唯一性.反证法，设插值问题式(1)有两个不同的解令)(),(21xHxH)()()(21xHxHxG且满足的多项式并且其为次数不大于,1rnrixGnixGii,,1,0,0)(,,1,0,0)(),,2,1)((),,1,0()()(2nrrixxrixxxGii和必含有因式于是证毕矛盾的次数至少为故.,2)(rnxG13.),()()()!2()()()()(2)2(内的某一点是插值区间其中，插值公式的余项为插值余项定理定理baxwxwrnfxHxfHermiteHermiternrn证明：)]()([)()()()()()()(xHxfxwxwtwtwtHtftFrnrn引进辅助函数知由条件)1(0)()()()(10nxFxFxFxF0)()()(10rxFxFxF14.,,,1,,,,10)(1021rnrrxxxrxxxxrntF个二重根和个单根有即：个零点，依此类推可知至少有个零点内至少有在定理知，由1)(2),()(rntFrnbatFRolle0)]()([)()()!2()()2(xHxfxwxwrnfrnrn，因此内至少有一个零点在),()()2(batFrn)()()!2()()()()2(xwxwrnfxHxfrnrn即得15插值多项式为则相应的若Hermitenr,nkkknkkkxfxhxfxhxH00)()()()()(nkxlxxxhnkxlxlxxxhknkkknkknkk,,1,0),()()(,,1,0),()]()(21[)(22其中),(),()!22()()()(2)22(baxwnfxHxfnn余项公式为：时，插值条件为：特别当1nr-----(11)161,0),()(),()(ixfxHxfxHiiii插值多项式：由此得三次Hermite)()()()()()()()()(11001100xfxhxfxhxfxhxfxhxH21010100))(21()(xxxxxxxxxh20101011))(21()(xxxxxxxxxh210100))(()(xxxxxxxh201011))(()(xxxxxxxh--(12).)12(插值称为分段三次常用作分段低次插值，多项式Hermite17例1.1)2(,0)1(21)(3)2(,2)1(21)(ffxfffxf处的导数值为，在节点处的函数值为，在节点已知.7.1,5.1)(,)(处的函数值在及的两点三次插值多项式求xxfxf解:2,110xx3,210yy1,010yy)()()()()(110011003xhyxhyxhyxhyxH101121xxxxy2010xxxx00xxy2101xxxx2010xxxx11xxy010021xxxxy2101xxxx18)2(213x21x21x2x)1(212x22x)(3xH91713323xxx)5.1(f)5.1(3H625.2)7.1(f)7.1(3H931.2作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值