函数项级数的一致收敛性及基本性质

一、问题的提出有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对于一般的函数项级数是否如此？问题:解,)(nnxxs且得和函数：因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，.1,1,10,0)(lim)(xxxsxsnn.1)(处间断在和函数xxs例1考察函数项级数)()()(1232nnxxxxxxx和函数的连续性．函数项级数的每一项在],[ba上连续，并且级数在],[ba上收敛，其和函数不一定在],[ba上收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及积分．结论对什么级数，能从每一项的连续性得出和函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？问题二、函数项级数的一致收敛性设有函数项级数1)(nnxu．如果对于任意给定的正数，都存在着一个只依赖于的自然数N，使得当Nn时，对区间I上的一切x，都有不等式)()()(xsxsxrnn成立，则成函数项级数1)(nnxu在区间I上一致收敛于和)(xs，也称函数序列)(xsn在区间I上一致收敛于)(xs．定义只要n充分大)(Nn,在区间I上所有曲线)(xsyn将位于曲线)(xsy与)(xsy之间.xyoI)(xsy)(xsy)(xsy)(xsyn几何解释:研究级数111112111nxnxxxx在区间),0[上的一致收敛性.例2解,1)(nxxsn)0(01lim)(lim)(xnxxsxsnnn余项的绝对值)0(11)()(xnnxxsxsrnn对于任给0，取自然数1N，则当Nn时，对于区间],0[上的一切x，，有)(xrn根据定义，所给级数在区间],0[上一致收敛于.0)(xs例3研究例1中的级数)()()(1232nnxxxxxxx在区间(0,1]内的一致收敛性.解该级数在区间(0,1)内处处收敛于和0)(xs，但并不一致收敛．对于任意一个自然数,n取nnx21，于是,21)(nnnnxxs,0)(nxs但.21)()()(nnnnnxsxsxr从而只要取21，不论n多么大，在(0,1)总存在点nx，,)(nnxr使得因此级数在(0,1)内不一致连续．说明:从下图可以看出:但虽然函数序列nnxxs)(在(0,1)内处处,0)(xs)(xsn在(0,1)内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的．oxy(1,1)nnxxsy)(1n2n4n10n30n1一致收敛．上，这级数在注意：对于任意正数],0[1rr小结一致收敛性与所讨论的区间有关．定理（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）如果函数项级数1)(nnxu在区间I上满足条件:(1))3,2,1()(naxunn;(2)正项级数1nna收敛,则函数项级数1)(nnxu在区间I上一致收敛.一致收敛性简便的判别法：证由条件(2)，对任意给定的0，根据柯西审敛原理存在自然数N，使得当Nn时，对于任意的自然数p都有.221pnnnaaa由条件(1)，对任何Ix，都有)()()(21xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn,221pnnnaaa令p,则由上式得2)(xrn.因此函数项级数1)(nnxu在区间I上一致收敛.例4证明级数22222sin22sin1sinnxnxx在),(上一致收敛.证　在),(内),3,2,1(1sin222nnnxn级数121nn收敛，由魏尔斯特拉斯判别法，所给级数在),(内一致收敛．三、一致收敛级数的基本性质定理1如果级数1)(nnxu的各项)(xun在区间[ba,]上都连续,且1)(nnxu在区间[ba,]上一致收敛于)(xs,则)(xs在[ba,]上也连续.证设xx,0为ba,上任意点．由)()()(),()()(000xrxsxsxrxsxsnnnn)()()()(00xrxrxsxsnnnn(1))()()()()()(000xrxrxsxsxsxsnnnn级数1)(nnxu一致收敛于)(xs，对0，必自然数)(NN，使得当Nn时,对ba,上的一切x都有3)(xrn(2).3)(0xrn同样有故)(xsn(Nn)在点0x连续，(3)0当0xx时总有3)()(0xsxsnn由(1)、(2)、(3)可见,对任给0，必有0，当0xx时，有.)()(0xsxs　)(xsn是有限项连续函数之和，所以)(xs在点0x处连续，　　　　　　　　　　　而0x在[ba,]上是任意的，因此)(xs在[ba,]上连续．定理2如果级数1)(nnxu的各项)(xun在区间[ba,]上都连续,且1)(nnxu在区间[ba,]上一致收敛于)(xs,则)(xs在[ba,]上可以逐项积分,即xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21xxndxxu0)(其中bxxa0,并且上式右端的级数在[ba,]上也一致收敛.(4)证级数1)(nnxu在[ba,]一致收敛于)(xs,由定理1,)(xs，)(xrn都在[ba,]上连续，所以积分xxdxxs0)(，xxndxxr0)(存在,从而有xxnxxdxxsdxxs00)()(xxndxxr0)(.)(0xxndxxr又由级数的一致收敛性,对任给正数必有)(NN使得当Nn时,对[ba,]上的一切x,都有.)(abxrnxxnxxdxxsdxxs00)()(xxndxxr0)(.)(0xxqb根据极限定义，有nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(lim)(lim)(即100)()(ixxixxdxxudxxs由于N只依赖于而于xx,0无关，所以级数10)(ixxidxxu在[ba,]上一致收敛.于是，当Nn时有定理3如果级数1)(nnxu在区间[ba,]上收敛于和)(xs，它的各项)(xun都具有连续导数)(xun，并且级数1)(nnxu在[ba,]上一致收敛，则级数1)(nnxu在[ba,]上也一致收敛，且可逐项求导，即)()()()(21xuxuxuxsn(5)注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数22222sin22sin1sinnxnxx在任何区间],[ba上都是一致收敛的.逐项求导后得级数,cos2coscos22xnxx.,发散的都是所以对于任意值因其一般项不趋于零x所以原级数不可以逐项求导．定理4如果幂级数1nnnxa的收敛半径为0R,则其级数在),(RR内的任意闭区间[ba,]上一致收敛.进一步还可以证明，如果幂级数1nnnxa在收敛区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包含端点．幂级数的一致收敛性定理5如果幂级数1nnnxa的收敛半径为0R，则其和函数)(xs在),(RR内可导，且有逐项求导公式111)(nnnnnnxnaxaxs,逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径．证在),(RR内任意取定x，在限定1x，使得Rxx1．记11xxq，则先证级数11nnnxna在),(RR内收敛．,1111111111nnnnnnnnxaxnqxaxxxnxna由比值审敛法可知级数11nnnq收敛，),(01nnqn于是故数列1nnq有界，必有0M，使得),2,1(111nMxnqn又Rx10，级数11nnnxa收敛，由比较审敛法即得级数11nnnxna收敛．由定理4，级数11nnnxna在),(RR内的任意闭区间[ba,]上一致连续，故幂级数1nnnxa在[ba,]上适合定理3条件，从而可以逐项求导．即得幂级数1nnnxa在),(RR内可逐项求导.设幂级数11nnnxna的收敛半径为R．,RR由[ba,]在),(RR内的任意性，将此幂级数11nnnxna在[x,0])(Rx上逐项积分即得,1nnnxa因逐项积分所得级数的收敛半径不会缩小，,RR所以.RR于是即11nnnxna与1nnnxa的收敛半径相同．四、小结1、函数项级数一致收敛的定义；2、一致收敛级数的判别法——魏尔斯特拉斯判别法；4、幂级数的一致收敛性．3、一致收敛级数的基本性质；练习题上一致收敛．在任一有限区间证明之差的绝对值小于正数与其极限时能使当取多大问．上收敛于在一、已知函数序列],[)(.2;)(,,),(.10),(),3,2,1(sinbaxsxsNnxNnnxsnnn上的一致收敛性．在区间二、按定义讨论级数),()1()1(2211nnnxx.0,.2;,2cos.1121xexxnxnnxnn区间上的一致收敛性．所给判别法证明下列级数在三、利用魏尔斯特拉斯练习题答案．取自然数一、xN.1二、一致收敛．