圆锥曲线的综合问题(一)详细解析版

圆锥曲线的综合问题（一）最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.错误!知识点睛1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，即Ax＋By＋C＝0，F（x，y）＝0消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离.(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2.例题精讲（考点分析）考点一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程.解(1)椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，∴c＝1，又点P(0，1)在曲线C1上，∴0a2＋1b2＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，所以椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.①由y2＝4x，y＝kx＋m消去y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②综合①②，解得k＝22，m＝2或k＝－22，m＝－2.所以直线l的方程为y＝22x＋2或y＝－22x－2.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围.解(1)设点M(x，y)，依题意|MF|＝|x|＋1，∴（x－1）2＋y2＝|x|＋1，化简得y2＝2(|x|＋x)，故轨迹C的方程为y2＝4x（x≥0），0（x＜0）.(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)；C2：y＝0(x＜0).依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).由方程组y－1＝k（x＋2），y2＝4x，可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①①当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝14.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点14，1.②当k≠0时，方程①的Δ＝－16(2k2＋k－1)＝－16(2k－1)(k＋1)，②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－2k＋1k.③(ⅰ)若Δ＜0，x0＜0，由②③解得k＜－1，或k＞12.所以当k＜－1或k＞12时，直线l与曲线C1没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ⅱ)若Δ＝0，x0≥0，即2k2＋k－1＝0，2k＋1k＜0，解集为∅.综上可知，当k＜－1或k＞12或k＝0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点.考点二弦长问题【例2】(2016·四川卷)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值.(1)解由已知，a＝2b，则椭圆E的方程为x22b2＋y2b2＝1.由方程组x22b2＋y2b2＝1，y＝－x＋3，得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为x26＋y23＝1.点T的坐标为(2，1).(2)证明由已知可设直线l′的方程为y＝12x＋m(m≠0)，由方程组y＝12x＋m，y＝－x＋3，可得x＝2－2m3，y＝1＋2m3.所以P点坐标为2－2m3，1＋2m3.|PT|2＝89m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组x26＋y23＝1，y＝12x＋m，可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，由Δ0，解得－322m322.由②得x1＋x2＝－4m3，x1x2＝4m2－123.所以|PA|＝2－2m3－x12＋1＋2m3－y12＝522－2m3－x1，同理|PB|＝522－2m3－x2.所以|PA|·|PB|＝542－2m3－x12－2m3－x2＝542－2m32－2－2m3（x1＋x2）＋x1x2＝542－2m32－2－2m3－4m3＋4m2－123＝109m2.故存在常数λ＝45，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.规律方法有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.【训练2】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－12x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l的方程.解(1)由题设知b＝3，ca＝12，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝3，c＝1，∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝2|m|5，由d＜1，得|m|＜52.(*)∴|CD|＝21－d2＝21－45m2＝255－4m2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝－12x＋m，x24＋y23＝1，得x2－mx＋m2－3＝0，由根与系数关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴|AB|＝1＋－122[m2－4（m2－3）]＝1524－m2.由|AB||CD|＝534，得4－m25－4m2＝1，解得m＝±33，满足(*).∴直线l的方程为y＝－12x＋33或y＝－12x－33.考点三中点弦问题【例3】(1)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1(2)已知双曲线x2－y23＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________.解析(1)因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝12(x－3)，代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1消去y，得a24＋b2x2－32a2x＋94a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为32a22a24＋b2＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝32，选D.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x21－y213＝1，①x22－y223＝1，②x1＋x2＝2x0，③y1＋y2＝2y0，④由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝13(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.∴y2－y1x2－x1·y2＋y1x2＋x1＝3，即kMN·y0x0＝3，∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.又∵y0＝x0＋m，∴P－m4，3m4，代入抛物线方程得916m2＝18·－m4，解得m＝0或－8，经检验都符合.答案(1)D(2)0或－8规律方法处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，y1－y2x1－x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.【训练3】设抛物线过定点A(－1，0)，且以直线x＝1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－12平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围.解(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x－1，y).再根据抛物线的定义得|AF|＝2，即(2x)2＋y2＝4，所以轨迹C的方程为x2＋y24＝1.(2)设弦MN的中点为P－12，y0，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知4x2M＋y2M＝4，4x2N＋y2N＝4.两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，将xM＋xN＝2×－12＝－1，yM＋yN＝2y0，yM－yNxM－xN＝－1k代入上式得k＝－y02.又点P－12，y0在弦MN的垂直平分线上，所以y0＝－12k＋m.所以m＝y0＋12k＝34y0.由点P－12，y0在线段BB′上(B′，B为直线x＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以yB′＜y0＜yB，也即－3＜y0＜3.所以－334＜m＜334，且m≠0.基础过关1.过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条解析∵通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条.答案B2.直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是()A.1B.2C.1或2D.0解析因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax平行，所以它与双曲线只有1个交点.答案A3.经过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则OA→·OB→等于()A.－3B.－13C.－13或－3D.±13解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)