材料力学教材知识梳理

材料力学知识梳理王云江绪论材料力学的任务：强度要求、刚度要求、稳定性要求变形固体的基本建设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设外力及其分类：表面力（分布力、集中力）、体积力；静载荷、动载荷杆件变形的基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲拉伸、压缩与剪切拉伸与压缩方向规定：拉伸时的轴力(轴力背离截面)规定为正；压缩时的轴力(轴力指向截面)规定为负应力：横截面：σ(x)=𝐹𝑁𝐴斜截面：σ𝛼=𝑃𝛼cos𝛼=σcos2𝛼𝜏𝛼=𝑃𝛼sin𝛼=σsin𝛼cos𝛼𝑃𝛼=𝐹𝛼𝐴cos𝛼⁄=𝜎cos𝛼低碳钢力学性能：弹性阶段（σp：比例极限σe：弹性极限）→屈服阶段（应变显著增加，应力下降后微小波动σs：下屈服极限）→强化阶段（应力继续增加σb：强度极限）→局部变形阶段呢（缩颈现象试样拉断）Δ：脆性材料没有屈服现象，强度极限σb是衡量强度的唯一指标失效、安全因数和强度计算：失效：断裂和出现塑性变形；安全因数：ns、nb（＞1）；塑性材料：[𝜎]=𝜎𝑠𝑛𝑠脆性材料：[𝜎]=𝜎𝑏𝑛𝑏变形：比例极限内，∆𝑙=ε𝑙=𝜎𝐸𝑙=𝐹𝑙𝐸𝐴横向变形/泊松比：μ=|𝘀′𝘀⁄|能量：𝑉𝘀=12𝐹∆𝑙=𝐹2𝑙2𝐸𝐴𝑣𝘀=12𝘀𝜎2=𝐸𝜎22=𝜎22𝐸超静定问题：1.静力平衡方程2.变形协调方程（以直线代弧）3.物理方程温度应力：∆𝑙𝑇=𝛼𝑙∆𝑇∙𝑙装配应力：加工误差𝛿应力集中：理论应力集中系数K=𝜎𝑚𝑎𝑥𝜎△：塑性材料对应力集中不敏感剪切切应力τ=𝐹𝑠𝐴挤压应力𝜎𝑏𝑠=𝐹𝐴𝑏𝑠=𝐹𝑑𝛿扭转扭矩{𝑀𝑒}𝑁∙𝑚=9549{𝑃}𝑘𝑤{𝑛}𝑟𝑚𝑖𝑛⁄正负符号规定：扭矩矢量方向与所研究部分中截面的外法线的方向一致时，为正，反之为负。纯剪切分析薄壁圆筒:𝑀𝑒=2𝜋𝑟𝛿∙𝜏∙𝑟τ=𝑀𝑒2𝜋𝑟2𝛿切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，成对的切应力数值相等。切应变与剪切胡克定律：γ=𝑟𝜑𝑙τ=Gγ弹性模量E、泊松比μ和切边模量G的关系：G=𝐸2(1+𝜇)能量：𝑣𝘀=12𝜏𝛾=𝜏22𝐺应力变形几何关系：𝛾𝑝=𝜌𝑑𝜑𝑑𝑥横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比物理关系：𝜏𝑝=𝐺𝛾𝑝=𝐺𝜌𝑑𝜑𝑑𝑥静力关系：T=∫𝐴𝜌𝜏𝜌𝑑𝐴=𝐺𝑑𝜑𝑑𝑥∫𝐴𝜌2𝑑𝐴𝜏𝜌=𝑇𝜌𝐼𝑝𝜏𝑚𝑎𝑥=𝑇𝑅𝐼𝑝=𝑇𝑊𝑡抗扭截面系数𝑊𝑡=𝐼𝑝𝑅单位：m3Ip：极惯性矩圆轴：𝐼𝑝=𝜋𝐷432𝑊𝑡=𝜋𝐷316空心圆轴：𝐼𝑝=𝜋𝐷432(1−α4)𝑊𝑡=𝜋𝐷316(1−α3)α=𝑑𝐷变形φ=𝑇𝑙𝐺𝐼𝑝（弧度单位）弹簧切应力：τ𝑚𝑎𝑥=𝜏1+𝜏2𝑚𝑎𝑥=𝐹𝐴+𝑇𝑊𝑡=8𝐹𝐷𝜋𝑑3(𝑑2𝐷+1)当𝐷𝑑≥10时，不考虑剪切应力τ1的影响变形：W=12𝐹𝜆=𝑉𝘀=∫𝑉𝑣𝘀𝑑𝑉=∫𝑉𝜏𝜌22𝐺𝑑𝑉=4𝐹2𝐷3𝑛𝐺𝑑4弹簧刚度C=𝐺𝑑464𝑅3𝑛位移λ=𝐹𝐶矩形截面直杆应力：𝜏𝑚𝑎𝑥=𝑇𝛼ℎ𝑏2𝜏1=𝜈𝜏𝑚𝑎𝑥变形：𝜑=𝑇𝑙𝐺𝐼𝑡抗扭刚度𝐺𝐼𝑡=𝐺𝛽ℎ𝑏3ℎ𝑏10时，𝜏𝑚𝑎𝑥=𝑇13ℎ𝛿2𝜑=𝑇𝑙𝐺⋅13ℎ𝛿3弯曲内力方向判断剪力：对截面取矩，顺时针方向为正，左上右下为正；逆时针方向为负，左下右上为负。弯矩：截面下凹为正，左边顺时针，右边逆时针为正；截面上凸为负，左边逆时针，右边顺时针为负。Δ:平面曲杆的弯曲内力：引起拉伸变形的轴力FN为正；使轴线曲率增加的弯矩M为正；以剪力FS对所考虑的一段曲杆内任一点取矩，若力矩为顺时针方向，则剪力FS为正。反之为负。载荷集度、剪力和弯矩的关系𝑑2𝑀(𝑥)𝑑𝑥2=𝑑𝐹𝑠(𝑥)𝑑𝑥=𝑞(𝑥)弯曲应力纯弯曲几何关系：ε=(𝜌+𝑦)𝑑𝜃−𝜌𝑑𝜃𝜌𝑑𝜃=𝑦𝜌物理关系:σ=Eε=E𝑦𝜌静力关系:𝐹𝑁=∫𝐴𝜎𝑑𝐴𝑀𝑦=∫𝐴𝑧𝜎𝑑𝐴𝑀𝑧=∫𝐴𝑦𝜎𝑑𝐴公式推导：M=𝑀𝑧=∫𝐴𝑦𝜎𝑑𝐴=𝐸𝜌∫𝐴𝑦2𝑑𝐴=𝐸𝜌𝐼𝑧𝐼𝑧=∫𝐴𝑦2𝑑𝐴σ=𝑀𝑦𝐼𝑧横力弯曲抗弯截面系数W=𝐼𝑧𝑦𝑚𝑎𝑥𝜎𝑚𝑎𝑥=𝑀𝑚𝑎𝑥𝑊截面高为h，宽为b的矩形：W=𝑏ℎ26截面直径为d的圆形：W=𝜋𝑑332弯曲切应力：F=∫𝐴1𝜎𝑑𝐴1=∫𝐴1∆𝑀𝑦𝐼𝑧𝑑𝐴1=∆𝑀𝐼𝑧∫𝐴1𝑦𝑑𝐴1=∆𝑀𝐼𝑧𝑆𝑧∗𝑆𝑧∗=∫𝐴1𝑦𝑑𝐴1F=τb∆xτ=∆𝑀∆𝑥𝑆𝑧∗𝑏𝐼𝑧=𝐹𝑠𝑆𝑧∗𝐼𝑧𝑏矩形截面：τ𝑚𝑎𝑥=3𝐹𝑠2𝑏ℎ工字形截面：τ=𝐹𝑠𝑏0ℎ0提高弯曲强度的措施1.改善梁的受力状况2.选择梁截面的合理形状3.等强度梁弯曲变形挠曲线微分方程：𝑑2𝜔𝑑𝑥2=𝑀𝐸𝐼挠度ω=∬(𝑀𝐸𝐼𝑑𝑥)𝑑𝑥+𝐶𝑥+𝐷转角θ=∫𝑀𝐸𝐼𝑑𝑥+𝐶弯曲变形的求解：积分法、叠加法连续性条件、边界条件：固定端（ω、θ=0）、铰支座（ω=0）、对称点（θ=0）简单超静定梁：变形比较法减小弯曲变形的措施：改善结构形式和载荷作用方式，减小弯矩；选择合理的截面形状应力和应变分析、强度理论概念主平面：切应力等于零的平面。受力构件的任意点有三个相互垂直的主平面，有三个主应力。单向应力状态（简单拉伸或压缩，仅一个主应力不为零）、二向或平面应力状态（两个主应力不为零）、三向或空间应力状态应力符号规定：正应力以拉应力为正而压应力为负；把切应力看作力，则切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时，规定为正。二向应力状态图解法：应力圆(𝜎𝛼−𝜎𝑥+𝜎𝑦2)2+𝜏𝛼2=(𝜎𝑥−𝜎𝑦2)2+𝜏𝑥𝑦2解析法：σ𝛼=𝜎𝑥cos𝛼2+𝜎𝑦sin𝛼2−2𝜏𝑥𝑦sin𝛼cos𝛼=𝜎𝑥+𝜎𝑦2+𝜎𝑥−𝜎𝑦2cos2𝛼−𝜏𝑥𝑦sin2𝛼𝜏𝛼=𝜎𝑥−𝜎𝑦2sin2𝛼+𝜏𝑥𝑦cos2𝛼材料力学知识梳理王云江三向应力状态：(𝜎𝑛−𝜎2+𝜎32)2+𝜏𝑛2=(𝜎2−𝜎32)2+𝑙2(𝜎1−𝜎2)(𝜎1−𝜎3)(𝜎𝑛−𝜎3+𝜎12)2+𝜏𝑛2=(𝜎3−𝜎12)2+𝑚2(𝜎2−𝜎3)(𝜎2−𝜎1)(𝜎𝑛−𝜎1+𝜎22)2+𝜏𝑛2=(𝜎1−𝜎22)2+𝑛2(𝜎3−𝜎1)(𝜎3−𝜎2)应变：𝘀𝑥=1𝐸[𝜎𝑥−𝜇(𝜎𝑦+𝜎𝑧)]𝛾𝑥𝑦=𝜏𝑥𝑦𝐺𝘀𝑦=1𝐸[𝜎𝑦−𝜇(𝜎𝑧+𝜎𝑥)]𝛾𝑦𝑧=𝜏𝑦𝑧𝐺𝘀𝑧=1𝐸[𝜎𝑧−𝜇(𝜎𝑥+𝜎𝑦)]𝛾𝑧𝑥=𝜏𝑧𝑥𝐺体应变θ=𝘀1+𝘀2+𝘀3=𝟏−𝟐𝝁𝑬(𝝈𝟏+𝝈𝟐+𝝈𝟑)=𝜎𝑚𝐾体积弹性模量K=𝐸3(1−2𝜇)平均应力𝜎𝑚=𝜎1+𝜎2+𝜎33能量密度：υ𝘀=12𝐸[𝜎12+𝜎22+𝜎32−2𝜇(𝜎1𝜎2+𝜎2𝜎3+𝜎3𝜎1)]=υ𝑉+υ𝑑=3𝜎𝑚𝘀𝑚2+1+𝜇6𝐸[(𝜎1−𝜎2)2+(𝜎2−𝜎3)2+(𝜎3−𝜎1)2]强度理论四种常用强度理论{σr1=σ1；σr2=σ1−μ(σ2+σ3)；σr3=σ1−σ3；σr4=√12[(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)2]}1、最大拉应力理论：σ1≤[σ]([σ]=σn)2、最大伸长线应变理论：ε1=σbE=1E[σ1−μ(σ2+σ3)]σ1−μ(σ2+σ3)≤[σ]3、最大切应力理论：σ1−σ3≤[σ]4、畸变能密度理论：√12[(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)2]≤[σ]莫尔强度理论极限拉应力圆、极限压应力圆与极限切应力圆构成的包络面𝜎𝑟𝑀=𝜎1−[𝜎𝑡][𝜎𝑐]𝜎3≤[σ][σt],[σc]:抗拉、抗压许用应力构件含裂纹的断裂准则：𝐾𝐼≤𝐾𝐼𝑐=𝜎√𝜋𝑎组合变形拉伸或压缩与弯曲的组合|𝜎𝑐𝑚𝑎𝑥|=|𝐹𝑁𝐴+𝑀𝑚𝑎𝑥𝑊|偏心压缩：σ=−𝐹𝐴(1+𝑦𝐹𝑦𝑖𝑧2+𝑧𝐹𝑧𝑖𝑦2)截面核心的计算：𝑎𝑦=−𝑖𝑧2𝑦𝐹𝑎𝑧=−𝑖𝑧𝑦2𝑧𝐹扭转与弯曲的组合𝜏=𝑇𝑊𝑡𝜎=𝑀𝑊𝑊𝑡=2𝑊第三强度理论：√𝜎2+4𝜏2=1𝑊√𝑀2+𝑇2≤[𝜎]第四强度理论：√𝜎2+3𝜏2≤[𝜎]压杆稳定临界压力𝐹𝑐𝑟=𝜋2𝐸𝐼(𝜇𝑙)2长度因素系数μ𝜎𝑐𝑟=𝜋2𝐸λ2柔度λ=𝜇𝑙𝑖过渡到比例极限时：𝜎𝑝=𝜋2𝐸λ2λ1=𝜋√𝐸𝜎𝑝应力、柔度关系：欧拉公式段：λ≥λ1𝜎≤𝜎𝑝经验公式段：λ2≤λ≤λ1𝜎𝑝≤𝜎≤𝜎𝑠𝜎𝑐𝑟=𝑎−𝑏λ拉压强度段：λ≤λ2𝜎𝑐𝑟=𝜎𝑠平行移轴公式：I=𝐼𝐶+𝑎2𝐴直径为d的圆轴惯性半径i=d/4长宽分别为b、h的矩形轴惯性半径为√36ℎPS：各种钢材的E大致相等：210G（对于细长杆，选优质钢材或低碳钢并无很大差别，对于中等柔度杆，临界压力与材料强度有关）动载荷能量守恒：∆T+∆V=𝑉𝘀𝑑=12𝐹𝑑∆𝑑𝐹𝑑=∆𝑑∆𝑠𝑡𝑃𝜎𝑑=∆𝑑∆𝑠𝑡𝜎𝑠𝑡解出动荷因素𝑲𝒅=∆𝑑∆𝑠𝑡举例：加速度系统𝑲𝒅=𝟏+𝒂𝒈竖直系统：动荷因素𝑲𝒅=𝟏+√1+2𝑇𝑃∆𝑠𝑡水平系统：动荷因素𝑲𝒅=√𝑣2𝑔∆𝑠𝑡交变应力对称循环持久极限：σ-1构件外形（Kσ、Kτ）、尺寸（εσ、ετ）、表面质量（β）都影响持久极限𝝈−𝟏𝟎=𝜺𝝈𝜷𝑲𝝈𝝈−𝟏𝝉−𝟏𝟎=𝜺𝝉𝜷𝑲𝝉𝝉−𝟏σa：幅值σm：平均值tan𝛼=𝜎𝑎𝜎𝑚=1−𝑟1+𝑟持久极限近似曲线：由σm=0，σa=σ-1;σm=σ0/2，σa=σ0/2;σm=σb，σa=0三点确定能量方法应变能的计算轴向拉伸或弯曲：𝑉𝘀=∫𝐹𝑁(𝑥)22𝐸𝐴𝑑𝑥扭转：𝑉𝘀=∫𝑇22𝐺𝐼𝑝𝑑𝑥弯曲：𝑉𝘀=∫𝑀(𝑥)22𝐸𝐼𝑑𝑥互等定理：第一组力在第二组力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。卡氏定理：𝛿𝑖=𝜕𝑉𝜀𝜕𝐹𝑖虚功原理：外力所做虚功等于内力在相应虚变形上所作的虚功。W=∫𝐹𝑁𝑑(∆𝑙)∗+∫𝑀𝑑𝜃∗+∫𝐹𝑆𝑑𝜆∗单位载荷法：单位外力作用到系统某一形变状态所做的功等于单位外力对应的内力作用到系统某一形变状态所积累的应变能。莫尔定理：∆=∫𝑀(𝑥)𝑀̅(𝑥)𝐸𝐼𝑑𝑥∆=∑𝐹𝑁𝑖𝐹̅𝑁𝑖𝑙𝑖𝐸𝐴𝑖𝑛𝑖=1∆=∫𝑇(𝑥)𝑇̅(𝑥)𝐺𝐼𝑝𝑑𝑥图乘法：∆=𝜔𝑀̅𝐶𝐸𝐼ω为M(x)图的面积M—C是M—(x)图的形心C对应的坐标。超静定结构力法解超静定结构：拆内力为外力，列变形协调方程：∆𝟏=𝜹𝟏𝟏𝑿𝟏+∆𝟏𝑭莫尔定理解δ11、△1F正则方程对称及反对称性质的利用：轴力与弯矩满足于对称结构，剪力满足于反对称结构三弯矩方程:𝑀𝑛−1𝑙𝑛+2𝑀𝑛(𝑙𝑛+𝑙𝑛+1)+�