最详细的复利和年金的计算推导

复利和年金的计算推导超级详细版作者寄语•在你开始阅读这个PPT之前，我有些话要先对读者你讲一讲，关于资金时间价值的复利和年金的计算和推导，涉及的数学知识其实很简单，只是由于数据庞大，因此让很多人望而却步，因此一定要耐下性子进行计算，这个幻灯片应该说是财务基础接近零的人都可以看会的，关键是要静下心，一个字一个字的读完，这样才能把这一部分知识彻底领悟到，祝你们成功！字母的含义i——报酬率或利率n——期数A——每期投入或支付的相同金额，在普通年金中也叫偿债基金F——Future——终P——Present——现V——Value——值I——系数一、复利的计算1、复利的终值2、复利的现值1、复利的终值复利的终值：就是一些钱过n期之后利滚利的最后所得总额。1、复利的终值总结计算公式：FVn=PVn·(1+i)n注：(1+i)n就是传说中的复利终值系数：FVIFi,n=(1+i)n因此，复利终值计算公式又可以写成FVn=PVn·FVIFi,n2、复利的现值复利的现值：就是利滚利过n期后能拿到的一些钱在现在值多少钱。2、复利的现值总结计算公式：PVn=FVn·就是传说中的复利现值系数：PVIFi,n=因此，复利现值计算公式又可以写成PVn=FVn·PVIFi,n1————(1+i)n1———(1+i)n注：1———(1+i)n二、年金的计算1、普通年金2、即付年金3、递延年金4、永续年金1、普通年金普通年金：又叫后付年金，是指各期期末收付的年金。AAAAAAAAA总共n期（1）普通年金终值说白了，就是计算每次投入的A在第n期期末（也就是线段最右端点）的终值总和。推导：FVAi,n=A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1=A·∑t=1n(1+i)t-1到这一步如果你看得懂，你很聪明！（1）普通年金终值刚才的结论是下面这个公式——计算公式：FVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t-1就是传说中的年金终值系数：FVIFAi,n=注：∑t=1n(1+i)t-1∑t=1n(1+i)t-1因此，年金终值计算公式又可以写成FVAi,n=A·FVIFAi,n（1）普通年金终值看到这里，是不是有点晕头转向了呢？将计算公式：FVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t-1变形，等号两端同时乘以(1+i)，得到下式：FVAi,n(1+i)=A·∑t=1n(1+i)t等比数列求和啊！=A·1-(1+i)1-(1+i)n=A·i(1+i)n+1-1·(1+i)·(1+i)（1）普通年金终值这样，只要在等号两端再同时除以(1+i)，就又诞生了一个变形后的公式——计算公式：FVAi,n=A·i(1+i)n+1-1这样，年金终值系数就变成了：FVIFAi,n=i(1+i)n+1-1最后敲定普通年金终值计算公式为FVAi,n=A·i(1+i)n+1-1（1）普通年金终值总结我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结——FVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t-1=A·FVIFAi,n=A·i(1+i)n+1-1（2）普通年金现值说白了，就是计算让每次投入的A退回到第一期期初（也就是线段最左端点）的现值总和。推导：PVAi,n=A·1———(1+i)+A·1———(1+i)2+A·1———(1+i)3+···+A·=A·∑t=1n1———(1+i)t1(1+i)n（2）普通年金现值刚才的结论是下面这个公式——PVAi,n=A·∑t=1n1———(1+i)t注：∑t=1n1———(1+i)t就是传说中的年金现值系数：PVIFAi,n=∑t=1n1———(1+i)t因此，年金现值计算公式又可以写成PVAi,n=A·PVIFAi,n（2）普通年金现值PVAi,n=A·∑t=1n1———(1+i)t=A·1-1+i11+i11-(1+i)n1·=A·i1-(1+i)n1我们将继续利用等比数列求和公式分解（2）普通年金现值这样，又诞生了一个变形后的公式——计算公式：PVAi,n=A·i1-(1+i)n1这样，年金现值系数就变成了：PVIFAi,n=i1-(1+i)n1最后敲定普通年金现值计算公式为PVAi,n=A·i1-(1+i)n1（1）普通年金现值总结我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结——PVAi,n=A·∑t=1n1———(1+i)t=A·PVIFAi,n=A·i1-(1+i)n12、即付年金即付年金：又叫先付年金，或预付年金，是指各期期初预付的年金。AAAAAAAAA总共n期（1）即付年金终值说白了，就是计算每次投入的A在第n期期末（也就是线段最右端点）的终值总和。推导：XFVAi,n=A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n=A·∑t=1n(1+i)t还记得普通年金的终值吗？它仅仅是指数变成了t-1（1）即付年金终值刚才的结论是下面这个公式——计算公式：XFVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t我们先不要急着求和，看看即付年金和普通年金的计算公式如何转化。A·∑t=1n(1+i)t和A·∑t=1n(1+i)t-1之间的转化即（1）即付年金终值暂时把A抛在一边，看这两个求和∑t=1n(1+i)t∑t=1n(1+i)t-1=(1+i)+(1+i)2+···+(1+i)n=1+(1+i)+(1+i)2+···+(1+i)n-1很明显∑t=1n(1+i)t=∑t=1n(1+i)t-1·(1+i)（1）即付年金终值所以，XFVAi,n=FVAi,n·(1+i)这一步告诉我们，即付年金终值是普通年金终值的(1+i)倍，在财务上可以理解为多计算了一期的终值，因此，在计算即付年金终值时，通常是转化为普通年金终值，并查阅年金终值系数表而确定的，而年金终值系数表本身就是普通年金的终值系数，因此这里的公式就显得尤为重要。（1）即付年金终值现在我们来对即付年金终值进行等比数列求和。XFVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t=A·1-(1+i)1-(1+i)n·(1+i)=A·i(1+i)n+1-(1+i)=A·i(1+i)n+1-1-A=A·[i(1+i)n+1-1-1]（1）即付年金终值不知道大家是否清楚我为什么要把A后面的部分整个括起来，聪明的人应该明白，要把它看成系数，恩，很好。[i(1+i)n+1-1]是什么？再次回想普通年金终值，看出来没？是的，我知道你看出来了！中括号里的内容就是——n+1期的普通年金终值系数FVIFAi,n+1（1）即付年金终值我们再次把公式写出来看看——XFVAi,n=FVAi,n+1-A可以再次从财务角度来解释一下这个公式，其实，n期即付年金的终值就是n+1期普通年金的终值去掉一期的偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金终值也有系数，那么即付年金终值系数比普通年金终值系数的期数多1期，但是系数值少1。（1）即付年金终值总结最后，我们把即付年金终值的所有公式进行总结——XFVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t=A·i(1+i)n+1-1-A=FVAi,n·(1+i)=FVAi,n+1-A（2）即付年金现值说白了，就是计算每次投入的A退回到第一期期初（也就是线段最左端点）的现值总和。推导：XPVAi,n=A+A·1+i1+A·(1+i)21+···+A·(1+i)n-11=A·∑t=1n(1+i)t-11还记得普通年金的现值吗？同样仅仅是指数变成了t-1（2）即付年金现值刚才的结论是下面这个公式——计算公式：XPVAi,n我们先不要急着求和，和计算终值的时候一样，看看即付年金和普通年金的计算公式如何转化。A·∑t=1n和A·∑t=1n之间吧！即=A·∑t=1n(1+i)t-11(1+i)t1(1+i)t-11（2）即付年金现值暂时把A抛在一边，看这两个求和∑t=1n∑t=1n(1+i)t1(1+i)t-11==(1+i)1(1+i)21++···+(1+i)n1(1+i)1(1+i)21++···+(1+i)n-11很明显∑t=1n∑t=1n(1+i)t1(1+i)t-11=·(1+i)（2）即付年金现值所以，XPVAi,n=PVAi,n·(1+i)这一步同样告诉我们，即付年金现值是普通年金现值的(1+i)倍，在财务上可以理解为少计算了一期的现值，因此，在计算即付年金现值时，通常是转化为普通年金现值，并查阅年金现值系数表而确定的，而年金现值系数表本身就是普通年金的现值系数，因此这里的公式就显得尤为重要。现在我们来对即付年金现值进行等比数列求和。（2）即付年金现值XPVAi,n∑t=1n(1+i)t-11=A·=A·1-(1+i)11-(1+i)n1·1=A·i分子分母同乘(1+i)1-(1+i)n-11+A（2）即付年金现值如果把A提到外面来，另一边将变成什么？XPVAi,n=A·[i1-(1+i)n-11+1]回忆一下普通年金现值系数，可知，中括号里就可以变成[PVIFAi,n-1+1]了。（2）即付年金现值我们再次把公式写出来看看——XPVAi,n=PVIFAi,n-1+A仍然可以再从财务角度来解释一下这个公式，n期即付年金的现值就是n-1期普通年金的现值增加一期的偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金也有现值系数，那么即付年金的现值系数比普通年金系数的期数少1期，但是系数值多1。（2）即付年金现值最后，我们把即付年金现值的所有公式进行总结——XPVAi,n=A·∑t=1n(1+i)t-11=A·i1-(1+i)n-11+A=PVAi,n·(1+i)=PVIFAi,n-1+A3、递延年金递延年金：又叫延期年金，是指前面m期不付，后面n期每期期末交付，直到最后一期期末的年金。AAAAAA支付n期m期（1）递延年金终值由于后面n期按照普通年金的方式完成支付，那么递延年金的终值实际上就是n期普通年金的终值。Pn=A·∑t=1n(1+i)t-1=A·FVIFAi,n=A·i(1+i)n+1-1这里，对于递延年金的终值就不进行总结了。（2）递延年金现值首先我想说，递延年金现值有两种计算方法，不知道读者你有没有看出来？第一种，前面m期不看，可以直接计算出后面n期在它本身的期初（不是总共m+n期的期初哦！）的现值，就是上上页线段的前m期最后一个端点，同时也是后n期的最左边端点，然后将这个值看成前m期的终值，调整到前m期期初，即整个线段最左端点即可。第二种，看成是m+n期的普通年金，计算出现值以后，减去前m期并未支付的那些现值，剩下的也是递延年金的现值。（2）递延年金现值第一种方法——P0’=A·PVIFAi,n=A·i1-(1+i)n1P0=P0’·(1+i)m1=A·PVIFAi,n·PVIFi,m你看到了什么？复利现值系数啊！（2）递延年金现值第二种方法——P0’=A·PVIFAi,m+n=A·i1-(1+i)m+n1P0=P0’-Pm=A·PVIFAi,m+n-A·PVIFAi,m（2）递延年金现值为了验证这两种方法是殊途同归，我们来算一算。P0=A·PVIFAi,n·PVIFi,m=A·i1-(1+i)n1(1+i)m1·=A·[(1+i)m1-(1+i)m+n1第一种方法]·i1（2）递延年金现值P0=A·PVIFAi,m+n-A·PVIFAi,m=A·i1-(1+i)m+n1-A·i1-(1+i)m1=A·[(1+i)m1-(1+i)m+n1]·i1第二种方法（2）递延年金现值总结很明显，两种方法计算出的结果是一样的。计算公式：P0=A·PVIFAi,n·PVIFi,m=A·PVIFAi,m+n-A·PVIFAi,m提示：关键是注意下标的字母，这是区分的唯一途径。4、永续年金永续年金：是指每期期末都进行交付，没有最后一期期末，无休止的延续下去的年金。AAAAAAAA…期数为无穷大永续年金现值很显然，永续年金没有尽头，因此它当然没有终值，只有现值。由于永续年金的支付方式和普通年金是一样的，因此，计算方法和普通年金一样。P=i1-(1+i)n1A·limn→∞=i1