定积分发展史

天津机电职业技术学院赵文雯微积分Calculus微分积分积分积分不定积分定积分积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。积分学主要研究积分的性质、计算及其在自然科学与技术科学中的应用。积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。下面我们来一起探索积分的由来数学的历史最早可追述到与我们极其遥远的社会发展初期。也许早于文字的形成，数的思想已在人们的生活中逐渐形成，虽然经历了长期的发展后，其体系分支的庞大与应用的广泛令世人惊叹，但至今为止却没有一个人能够为数学给出一个公认的定义。古埃及数字微积分的产生是数学上的伟大创造，它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。16、17世纪，资本主义社会崛起，生产力大大解放，机器化生产逐渐普及，促使科学急速发展。此时初等数学已不能满足社会的需要，于是数学进入了变量数学时期。在这一时期中，虽然出现了解析几何，概率论和射影几何等新的分支，但几乎都被微积分过分强大的光辉掩盖了。其发展之迅猛，内容之丰富，应用之广泛，使人目不暇接。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。与微分学相比，积分学的起源要早很多。其概念是由求某些面积、体积和弧长引起的。公元前5世纪准备阶段创立阶段完成阶段发展阶段一、准备阶段积分学发展的准备阶段主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.积分学发展史的准备阶段大致分为三个时期……1、第一个阶段•初期的古希腊数学并不是单独的一个分支,而是与天文、哲学密不可分的,其研究对象以几何学为主.•安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题,是近代极限理论的雏形.•公元前5世纪以德谟克利特为代表的“原子论”学派,用原子论的观点解释数学,他认为:线段、面积和立体都是由一些不可再分的原子构成的,而计算面积、体积就是将这些“原子”累加起来,这种不甚严格的推理方法已带有古朴的积分思想.然后他利用“原子论”求出了圆锥的体积,即:圆锥体积等于具有同底同高的圆柱体积的三分之一.2、第二个阶段•其中在公元前3世纪数学家兼物理学家阿基米德将穷竭法与原子论观点结合起来,获得了许多重要结果,例如他在《抛物线图形求积法》和《论螺线》中,利用穷竭法,借助于几何直观,求出了抛物线弓形的面积及阿基米德螺线第一周围成的区域的面积,其思想方法是分割求和,逐次逼近.虽然当时还没有极限的概念,不承认无限,但他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽.•古希腊的数学逐渐脱离哲学和天文学,成为独立的科学,出现了三大数学家:欧几里德阿基米德阿波罗尼奥斯3、第三个阶段•公元5—14世纪,被认为是欧洲的“黑暗时期”,这个时期数学的发展较为缓慢.直到14世纪末,欧洲资本主义萌芽,人们才继续了数学方面的研究.•整个16世纪,积分思想一直围绕着“求积问题”发展,它包括两个方面:一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中运用无穷小方法的数学家.•17世纪中叶,法国数学家费马、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质的观点求积,更加接近现代的求定积分的方法.可见,利用“分割求和”及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用.4、中国古代的极限思想•作为微积分的基础：极限理论，古代中国是毫不逊色于西方的。极限思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学都不能比拟的。•早在公元前7世纪，在我国庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。•三国时期的刘徽在数学方面的主要贡献是对《九章算术》进行注释。在研究《九章算术》时，刘徽在割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”并指出圆面积公式中圆周与直径之比应是“至然之数”．而不是本书中所采用的周三径一的圆周率。为此，刘徽创立了求圆周率的方法——“割圆术”，即以边数不断增加的圆内接正多边形的面积来通近圆的面积。4、中国古代的极限思想•祖冲之之子祖暅在研究体积问题时，总结出“缘幂势既同，则积不容异”，其中“幂”指面积，“势”理解为高度。这就是著名的“祖暅原理”，即“两个物体在等高处的截面积若相等，那么这两个物体的体积必相等”。由此，祖暅给出了计算球体积的正确公式•南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。4、中国古代的极限思想•特别是13世纪40年代到14世纪初，各主要（数学）领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有着微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。•中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制度造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学水平日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。二、创立阶段17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。而在以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以研究的。1、奠定基础：笛卡尔的解析几何笛卡尔1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。2、牛顿的“流数术”牛顿从1664年开始研究微积分,主要贡献反映在1671年、1676年发表的《流数术与无穷级数》、《曲线求积术》两篇论文和1687年的《自然哲学之数学原理》中.早期的微积分常称为“无穷小分析”,其原因在于微积分建立在无穷小的概念之上.在此基础上,牛顿提出了反问题，即反微分，并讨论了如何借助反微分来计算面积，给出了该方法的根据,使得计算趋于一般化、系统化。牛顿第一次清楚地说明了求导数问题和求面积问题之间的互逆关系,这就是说牛顿确定的积分实际上是不定积分.右侧是牛顿的手稿，可以让我们看看微积分青涩的模样→一门学科草创之初，其实是非常混乱的。实际上微积分还要过两三百来年才能变得接近现在的模样，更加通俗易懂。3、莱布尼茨莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题,他在《数学笔记》中指出:求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比(当这些差值变成无穷小时);求积依赖于在横坐标的无限小区间上纵坐标之和或无限小矩形之和,并且莱布尼兹开始认识到了求和与求差运算的可逆性，指出了:作为求和过程的积分是微分之逆,实际上也就是今天的定积分。莱布尼茨创造的微积分符号，正像阿拉伯数字促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。4、推广牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法,但是,他们留下了大量的事情要后人去解决,首先是微积分的主要内容的扩展,其次是微积分还缺少逻辑基础.18世纪,伯努利、欧拉、拉格朗日、克雷尔、达朗贝尔、马克劳林等数学家,随着对函数和极限研究的深入,把定积分概念推广到二重积分、三重积分,也对微积分基础作了深刻的研究,并且无穷级数、微分方程、变分法等微积分分支学科也初具规模,但微积分的逻辑基础问题还没有得到圆满解决.三、完成阶段19世纪的前20年,微积分的逻辑基础仍然不够完善,如一般的函数概念尚未建立,微积分的许多基本概念,如无穷小、无穷大、导数、微分、积分仍无精确定义等.从19世纪20年代至19世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力,微积分的理论基础基本完成。首个用极限思想真正解决导数与积分问题的科学家波尔查诺，他通过极限给出了积分的定义,指出“∫”不能理解为一个和式，而是一个和式的极限值。因此他认为，人们在应用定积分之前,必须首先确定积分的存在性，即在积分定义下的这个极限值的存在性。然而波尔查诺仍然没有清楚地将极限的本质呈现出来，仍然没有将极限的基本概念解释清楚。波尔查诺直到19世纪，法国科学家柯西结合前辈的思想进一步较完整地阐述了极限的概念，对变量，极限，连续，收敛等给出了明确的定义，微积分长期纠缠在基础问题上的局面终于被打破，为微分学和积分学提供了严谨的理论基础，形成了以极限论为核心的函数理论，经后人稍加丰富，就成了现在严谨的数学分析学。柯西此外，柯西给出了原函数的准确定义，证明了在某些条件成立时，函数原函数的存在性，指出一个确定的函数的原函数彼此只相差一个常数,在此基础上给出了原函数的具体表达式，并由此推导出牛顿——莱布尼兹公式。四、发展阶段然而，柯西的积分理论是对于闭区间上连续函数来定义的，若闭区间上具有无限多不连续点，柯西积分就不适用了。狄利克雷、黎曼等针对柯西方法对积分的不足之处，开始考虑重建积分的定义……狄利克雷提出可以用一种新的包容性更强的积分理论来处理在闭区间上具有无限多不连续点的函数，这种理论同“无穷小量分析的基本原理”相关。他从来没有在这个方面提出过什么思想，也从来没有指出过如何对高度不连续的函数积分。但是，他给出了一个说明这种情况存在例子，显示了柯西方法的不足之处。这也就是著名的狄利克雷函数：()cxdxx，为有理数，为无理数1、黎曼积分狄利克雷的优秀学生黎曼试图找到不需要预先假设函数必须如何连续就定义积分的途径。使可积性同连续性分离是一种大胆的、极有创见的思想。黎曼在1854年为获得德国大学的教授职位而写的“大学执教资格讲演”这篇高水平的学术论文中，提出了黎曼积分。而现在在任何微积分学教程中，它都占据着突出的地位。这个定义没有对连续性作任何假设。与柯西不同，对黎曼来说，连续性并不成为一个问题。1、黎曼积分有界函数的黎曼积分从把定义域分为细小的子区间的一个划分开始，在这些子区间上构建矩形，它们的高由函数值确定，最后令最大子区间的宽度收缩为零。相反，替代的勒贝格积分乃是基于一种简单而富有想象力的思想：采用函数值域的划分代替定义域的划分。2、勒贝格积分勒贝格在为一般读者编写的一本书中，用一个比喻来对比