线性控制理论-系统运动的稳定性

5.1内部稳定性与外部稳定性5.2李雅普诺夫稳定性的定义5.3李雅普诺夫第二法的主要定理5.4构造李雅普诺夫函数的规则化方法5.5线性系统的稳定性分析5.6Matlab问题本章小结第五章系统运动的稳定性本章简介本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。主要介绍内部稳定性和李雅普诺夫稳定性的定义以及分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造。5.1内部稳定性与外部稳定性一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统。例如，电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统。稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统实际上，控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定(BIBO)即为外部稳定性。（书P213定义5.1）在经典控制理论中，许多稳定性判据如劳斯-赫尔维茨判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根，与初始条件和扰动都无关，而非线性系统则不然。外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定性，即系统的内部状态稳定性。（书P216定义5.2）本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。内部和外部稳定性的关系在经典控制理论中所定义的稳定性是指输入输出稳定性，即给定有界输入，产生的输出亦有界。而李雅普诺夫稳定性讨论的系统状态在平衡态邻域的稳定性问题。就一般系统而言，两种稳定性没有必然的联系，对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。（P217结论5.7-5.9）对于线性定常系统，则有结论如下:若该线性定常系统是渐近稳定的，则一定是输入输出稳定的，反之，则不尽然。5.2李雅普诺夫稳定性的定义早在1892年，俄国学者李雅普诺夫（1857–1918)发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献，建立了关于运动稳定性研究的一般理论。李雅普诺夫把分析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化，然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。这是一种较简捷的方法，与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。该方法称为间接法，亦称为李雅普诺夫第一法。第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性，而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。由于不用解方程就能直接判别系统稳定性，所以第二种方法称为直接法，亦称为李雅普诺夫第二法。自治系统、平衡状态和受扰运动自治运动（P219定义5.3）平衡状态（P220定义5.4）受扰运动（P220定义5.5）1.平衡态设我们所研究的系统的状态方程为x’=f(x,t)其中x为n维状态变量;f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。对该非线性系统，其平衡态的定义如下。定义5-1动态系统x’=f(x,t)的平衡态是使f(x,t)0的状态，并用xe来表示。从定义5-1可知，平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态，如上图所示。平衡态平衡态平衡态显然，对于线性定常系统x’=Ax的平衡态xe是满足下述方程的解。Axe=0当矩阵A为非奇异时，线性系统只有一个孤立的平衡态xe=0;而当A为奇异时，则存在无限多个平衡态，且这些平衡态不为孤立平衡态，而构成状态空间中的一个子空间。对于非线性系统，通常可有一个或几个孤立平衡态，它们分别为对应于式f(x,t)0的常值解。对于孤立平衡态，总是可以通过坐标变换将其移到状态空间的原点。因此，不失一般性，为了便于分析，我们常把平衡态取为状态空间的原点。例如，对于非线性系统3221211xxxxxx其平衡态为下列代数方程组0032211xxxx的解，即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态。1010003e2e1exxxx2x1x(0)x(0)图5-1定义5-2(李雅普诺夫稳定性)若状态方程x’=f(x,t)所描述的系统，对于任意的0和任意初始时刻t0，都对应存在一个实数(,t0)0，使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,)的初始状态x0，2.李雅普诺夫意义下的稳定性当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域S(xe,)内，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的。上述定义说明，对应于平衡态xe的每一个球域S(xe,),一定存在一个有限的球域S(xe,)，使得t0时刻从S(xe,)出发的系统状态轨线总不离开S(xe,),则系统在初始时刻t0的平衡态xe为在李雅普诺夫意义下稳定的。x2x1x(0)x(0)以二维状态空间为例，上述定义的几何解释和状态轨线变化如图5-1所示。对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明：李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过S(xe,)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。对于定常系统来说，上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0必定无关，故其稳定性与一致稳定性两者等价。但对于时变系统来说，则这两者的意义很可能不同。定义5-3(李雅普诺夫渐近稳定性)若状态方程x’=f(x,t)所描述的系统在初始时刻t0的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，且系统状态最终趋近于系统的平衡态xe，即Limtx(t)=xex2x1x(0)则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。若(,t0)与初始时刻t0无关，则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致渐近稳定的。图5-23.渐近稳定性对于线性定常系统来说，上述定义中的实数(,t0)可与初始时刻t0无关，故其渐近稳定性与一致渐近稳定性等价。但对于时变系统来说不同。x2x1x(0)渐近稳定性在二维空间中的几何解释如图5-2所示。该图表示状态x(t)的轨迹随时间变化的收敛过程。图5-1与图5-2相比较，能清楚地说明渐近稳定和稳定的意义。图5-2x2x1x(0)x(0)图5-1对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明：经典控制理论的BIBO稳定性，就是李雅普诺夫意义下的渐近稳定。稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。大范围渐近稳定性对于n维状态空间中的所有状态，如果由这些状态出发的状态轨线都具有渐近稳定性，那么平衡态xe称为李雅普诺夫意义下大范围渐近稳定的。换句话说，若状态方程在任意初始状态下的解,当t无限增长时都趋于平衡态，则该平衡态为大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整个状态空间中只有一个平衡态。对于线性系统，如果其平衡态是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。但对于非线性系统则不然，渐近稳定性是一个局部性的概念，而非全局性的概念。4.不稳定性定义5-4若状态方程x’=f(x,t)描述的系统在初始时刻t0,对于某个给定实数0和任意一个实数0,x2x1x(0)总存在一个位于平衡态xe的邻域S(xe,)的初始状态x0，使得从x0出发的状态方程的解x(t)将脱离球域S(xe,)，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下不稳定的。图5-3李雅普诺夫第二法它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。若系统平衡态渐近稳定，则系统经激励后，其储存的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时，其能量达到最小值。反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外界吸收能量，其储存的能量将越来越大。基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数，通过考察该函数随时间推移是否衰减，就可判断系统平衡态的稳定性。5.3李雅普诺夫第二法（1）实函数的正定性实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下恒为负的。下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义。定义5-5设xRn，是Rn中包含原点的一个区域，若实函数V(x)对任意n维非零向量x都有V(x)0；当且仅当x=0时，才有V(x)=0，则称函数V(x)为区域上的正定函数。1.数学预备知识定义5-6设xRn，是Rn中包含原点的一个区域，若实函数V(x)对任意n维非零向量x，都有V(x)0;当且仅当x=0时，才有V(x)=0，则称函数V(x)为区域上的负定函数。若对任意n维非零向量x，都有V(x)≥0，且V(0)=0，则称函数V(x)为区域上的正半定函数。若对任意n维非零向量x，都有V(x)≤0，且V(0)=0，则称函数V(x)为区域上的负半定函数。若无论取多么小的原点的某个邻域，V(x)可为正值也可为负值，则称函数V(x)为不定函数。下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、负定函数等的例子。1)正定函数222212221)2(2xxxxx2)负定函数2122122215)2(2xxxxx3)正半定函数22122)2(2xxx4)负半定函数22121)2(3xxx函数的定号性是一个相对概念，与其函数定义域有关。如，函数对x1与x2组成的2维空间为非负定的，但对于1维空间x2则为正定的。2212212221)2()2(23xxxxxx222x5)不定函数二次型函数是一类特殊形式函数。设V(x)为关于n维变量向量x的实二次型函数，则其可以表示为其中aij(i=1,2,…,n,j=i,…,n)为实常数。211112121122222221().........nnnnnnnnnijijijiVaxaxxaxxaxaxxaxaxxx(2)二次型函数和对称矩阵的正定性由线性代数知识知，实二次型函数V(x)又可表示为V(x)=xTPx其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵，它为如下nn维实对称矩阵:nnnnnnaaaaaaaaaP...2/2/............2/...2/2/...2/212221211211二次型函数与一般函数一样，具有正定、负定、正半定、负半定和不定等定号性概念。二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。因此，由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正定性。定义5-7设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵，当V(x)分别为正定、负定、正半定、负半定和不定时，则称对称矩阵P相应为正定、负定、正半定、负半定与不定。因此，由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为判别对称矩阵的正定性。对称矩阵P为正定、负定、正半定与负半定时，并可分别记为P0，P0，P≥0，P≤0。定理5-1(塞尔维斯特定理)(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶顺序主子式均大于零，即0||...00222112112111PΔppppΔpΔn其中pij为实对称矩阵P的第i行第j列元素。(2)实对称矩阵P为负定的充要条件是P的