小学奥数-几何五大模型(等高模型)

page1of30模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图12::SSabbaS2S1DCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．三角形等高模型与鸟头模型page2of30【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。【解析】⑴如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBAFCDBAGDCBA⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD的面积12高26高三角形ABC的面积124（）高28高三角形ADC的面积4高22高所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的43倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。ABCDEF【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326(平方厘米)。【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米。CDBApage3of30【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米。【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是。FEDCBA【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202。【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。HGFEDCBAHGFEDCBA【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。连接BH、CH。∵AEEB，∴AEHBEHSS△△．同理，BFHCFHSS△△，S=SCGHDGH，∴11562822ABCDSS阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是。EDGCFBA654321HABFCGDE【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等。因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。page4of30【例5】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBA【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：HGFEDCBA可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC。所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影解法二：特殊点法。找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：GABCDEF(H)这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCDAEDBEFCFDSSSSS阴影。【例6】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBApage5of30(H)GFEDCBAHGFEDCBA【解析】（法1）特殊点法。由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的113848，为33613.58。（法2）寻找可利用的条件，连接BH、HC，如右上图。可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS，即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC。所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影。【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积。PDCBAABCD(P)PDCBA【解析】（法1）特殊点法。由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米。（法2）连接PA、PC。由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米。【例7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，12AD厘米，3DE厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？EDCBA【解析】因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，EDpage6of30是三角形EBC的高，于是：三角形ABC的面积1226BCBC三角形EBC的面积321.5BCBC所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍．【例8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？FDECBA【解析】AEC、AFC、ABF．【巩固】如图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？EDCBA【解析】3个，AEC、BED、DEC．【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODCBA【解析】ABD与ACD，ABC与DBC，ABO与DCO．【例9】(第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为1，其中3AEAB，2BDBC，三角形BDE的面积是多少？ABECDDCEBA【解析】连接CE，∵3AEAB，∴2BEAB，2BCEACBSS又∵2BDBC，∴244BDEBCEABCSSS．【例10】(2008年四中考题)如右图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是平方厘米．FEDCBAFEDCBA【解析】连接CD．根据题意可知，DEF的面积为DAC面积的13，DAC的面积为ABC面积的12，所page7of30以DEF的面积为ABC面积的111236．而DEF的面积为5平方厘米，所以ABC的面积为15306(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？FEDCBA【解析】ABD，ABC等高，所以面积的比为底的比，有12ABDABCSBDSBC,所以ABDS=111809022ABCS(平方厘米)．同理有190303ABEABDAESSAD(平方厘米)，34AFEABEFESSBE3022.5(平方厘米)．即三角形AEF的面积是22.5平方厘米．【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果24AB厘米，8BC厘米，求三角形ZCY的面积．ABCDZY【解析】∵Y是BD的中点，Z是DY的中点，∴1122ZYDB，14ZCYDCBSS，又∵ABCD是长方形，∴11124442ZCYDCBABCDSSS(平方厘米)．【巩固】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．FEDCBA【解析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24212，三角形ADE又是三角形ADC面积的一半1226．三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积623．【巩固】如图，在三角形ABC中，8BC厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？FECBA【解析】∵F是AC的中点∴2ABCABFSSpage8of30同理2ABFBEFSS∴486246BEFABCSS(平方厘米)．【例11】如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．FEGDCBAFEGDCBA【解析】如右图分割后可得，243649EFGDEFCABCDSSS矩形矩形（平方单位）．【巩固】(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2ANBN.那么，阴影部分的面积是多少？ANBMDCCDMBNA【解析】连接BM，因为M是中点所以ABM△的面积为14又因为2ANBN，所以BDC△的面积为1114312，又因为BD