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课程编号:MTH17060北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级泛函分析试题(A卷)一、(10分)设T是赋范线性空间X到自身的线性映射。证明以下三条等价:(1)T连续;(2)T在零点连续;(3)T有界。二、(10分)设H是Hilbert空间。证明:(1)若nxx,则对于任意固定的yH,,,nxyxy;(2)若nxx,nyy,则,,nnxyxy。三、(10分)设H是Hilbert空间,ABH且存在0m使得2,,xHAxxmx,证明:存在1ABH。四、(10分)设H是Hilbert空间,M是H的线性子空间。证明:M在H中稠密的充分必要条件是M。注:M仅为H的子集时充分性不成立,试举反例五、(15分)设0,1C为区间0,1上连续函数的全体,对于0,1fC,令0,1maxxffx。证明:(1)0,1C是完备的赋范线性空间,即Banach空间;(2)对于0,1t,令tFfft,则tF是0,1C上线性有界泛函,求tF。六、(15分)设2,0,1,1,2,kffLk,且,..0,1kffae。证明:limkkff当且仅当lim0kkff,其中12220,1,0,1ffxdxfL。七、(15分)设12,ff是Hilbert空间H上的线性无关的线性有界泛函,12kerkerMff。证明:(1)M是闭的线性子空间;(2)存在12,yyH使得对于xH,有01122xxyy,其中0x为x在M上的正交投影,12,。(附加:试证明在题设条件下此分解式唯一。)八、(15分)在0,1C上分别令1100,1max,txxtxxtdt,其中0,1xC。(1)分别证明和1是0,1C上的范数;(2)比较这两种范数的强弱;(3)它们是否等价?给出理由。(要求使用两种方法)注:2010级为闭卷课程编号:MTH17060北京理工大学2013-2014学年第一学期2011级泛函分析试题(A卷)一、(1)给出赋范线性空间的定义,证明范数是连续的一元函数;(2)给出距离空间的定义,证明距离是连续的二元函数;(3)证明赋范线性空间构成距离空间;(4)距离空间是否为赋范线性空间?举出反例或给出证明。(试举两类反例)二、设B是Banach空间,f是B上的线性泛函。证明以下五条等价:(1)f连续;(2)f在某点连续;(3)f在零点连续;(4)f有界;(5)kerf是闭线性子空间。(比较条件(2)与条件(2’):f在任意某点连续的区别!)三、设X,Y均为内积空间,,BXY为X到Y的线性有界算子全体,对于,TBXY,令1supxTTx。证明:(1),BXY是赋范线性空间;(2)若Y完备,则,BXY完备。四、设,0,11,,1,2,pnfLpfn,证明:pLnff当且仅当以下条件成立:(1)nppff;(2)mnff注:p时充分性不成立,试举反例。五、考虑实Hilbert空间20,1L,设220,1,0,1gLfL,定义20,1L上的泛函为0,1Fffxgxdx,证明F是线性连续泛函,并求F。六、设,nnef是Hilbert空间H中的两个标准正交集,满足条件211nnnef。求证:两者中一个完备蕴含另一个完备。七、设H是Hilbert空间,ABH且存在0m使得2,,xHAxxmx,证明:(1)A是单射;(2)A是满射;(3)判断1A是否有界?并给出理由。注:2011级为半开卷另注:2012级为闭卷课程编号:MTH17060北京理工大学2015-2016学年第一学期2013级泛函分析试题(B卷)一、(30分)考虑二维平面2,对于212,xxx,定义121xxx。(1)证明21,是赋范线性空间;(2)证明21,是Banach空间;(3)画出2中单位圆211xx的图形;(4)21,是否为内积空间?请说明理由;((2)(5)问请各用两种方法证明!)(5)在2中定义另一种范数22122xxx,问:在2上1和2是否等价?(6)令11122122aaaaA,其中11122122,,,aaaa,则A是21,上的线性变换,证明:A是线性有界算子,并求A。二、(10分)设X和Y是赋范线性空间,T是X到Y的线性算子,证明以下两条等价:(1)T连续(2)T有界三、(10分)设nf和ng是20,1L上的标准正交系,若它们满足210,11nnnfxgxdx,证明:nf是20,1L上的标准正交基的充分必要条件是ng是20,1L上的标准正交基。四、(因课时充足新加的内容)(10分)设A是无穷维Hilbert空间H上的紧算子,证明:(1)A是H上的线性有界算子;(2)A不存在有界逆。(试各用两种方法证明!)五、(10分)设X是Banach空间,f是X上线性泛函,证明f有界的充分必要条件是kerf是X的闭线性子空间。六、(10分)设1,,nxx是赋范线性空间X中的线性无关元,证明*,1,,ifXin,使得,,1,,ijijfxijn。(试用两种方法证明!)七、(20分)(1)给定函数0,1yC,常数满足11e,考虑积分方程:0,0,1ttsxtexsdsytt,证明此方程在0,1C中有唯一解;(2)对于0,1,0,1tfC,令tFfft,证明tF是0,1C上有界线性泛函,并求其算子范数。(若将(1)的条件改为1,能否得出结论)注:2013级为闭卷课程编号:MTH17179北京理工大学2016-2017学年第一学期2014级泛函分析试题(A卷)一、(20分)设B是Banach空间,f是B上的线性泛函。证明以下四条等价:(1)f连续;(2)f在零点连续;(3)f有界;(4)kerf是闭线性子空间。二、(50分,1-6小题每题5分,7、8小题每题10分)设0,1C为区间0,1上连续函数的全体。对于,0,1fgC,在其上定义0,10,1,max,maxttdfgftgtfft。(1)证明0,1,Cd为度量空间;(2)证明0,1,Cd中的度量收敛性等价于一致收敛;(3)证明0,1,Cd完备;(4)证明0,1,C为赋范线性空间;(5)可以是由内积引出的吗?(6)0,1,C中的单位球面是紧的吗?(7)对于0,1fC,定义110fftdt。问1和的强弱关系,它们等价吗?(8)0,1t,定义:Ftft,证明F是0,1,C上有界线性泛函,并求F。三、(10分)设,,1,1,2,pnffLEpn,证明:pLnff的充分条件为:(1)nff..aeE;(2)nppff。考试时当场否定了必要性,理由何在?四、(10分)设,nnef是Hilbert空间H中的两个标准正交集,满足条件211nnnef。求证:两者中一个完备蕴含另一个完备。五、(10分)设1,,nxx是赋范线性空间X中的线性无关元,证明*,1,,ifXin,使得,,1,,ijijfxijn。(试用两种方法证明!)注:2014级为闭卷
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