极值第二判别法函数的最值

现在开始上课Math3-3授课内容函数极值的第二判别法函数的最大值与最小值最大值与最小值在经济问题中的应用知识点用二阶导数的符号判断函数的极值最值的概念求最值的步骤和方法最大利润问题、最小成本问题重点求最值的方法与步骤在经济问题中的简单应用设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)x(f0,0)x(f0,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值..)(0)(300是否是极值，则不能判断若）（xfxf定理3.7(极值判别法Ⅱ)例3.20243)(23的极值求出函数xxxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点解2463)(2xxxf)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f而,018)4(f故极大值,60)2(f,018)2(f故极小值.4820243)(23xxxxf图形如右Mm注意:.)(,0)(00处不一定取极值在点时xxfxf.0)(0用第一判别法判断只能时，第二判别法失效，因此，当xf函数的不可导点,也可能是函数的极值点.如下面的例题3.课堂练习Ex37(2,4,)课堂练习解答：6yy2x,018211,018y)(6-12xy2x,-1x,0y)2(61266xy)2(72x21-1x22的极小值是极小点，所以又的极大值是极大点，所以利用极值判别法解得令xxyyyxIIxxx4120210y0,21,)4(32966xy.2x,2-x,0,0)()4()x-2x(4y)4(7220x03448244xxxyxyxoyxxxyIIx是极大点，极大值所以又是极小点，极小值所以得令利用极值判别法小结：极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得，但临界点不一定是极值点.判别法第一充分条件第二充分条件(注意使用条件)被判定点的导数可以不存在，由该点附近两边区间的导数符号是否变号来判定.被判定点的二阶导数必须存在，由该点二阶导数的符号来判定.要求条件弱，但必须由区间的导数符号来判定.要求条件强，但只须由一点的导数符号来判定.函数的最大最小值最值的求法oxybaoxyaboxyab只要函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，它在[a,b]上必有最大值和最小值.求最值的步骤:注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)求驻点和不可导点.比较区间端点及驻点和不可导点的函数值,其中最大的就是函数在区间上的最大值M,其中最小的就是函数在区间上的最小值m.求出端点的函数值f(a)和f(b).应用举例:例4.]3,3[11243)(234上的最大值与最小值在求函数xxxxf解)2)(1(12x241212)(23xxxxxxf得解方程,0)(xf.20,x,1xx计算出4)1(f1)0(f31)2(f.244)3(f最大值比较得:.31)2(f最小值244)3(f28)3(f再算出:.2,232)(524与最小值上的最大值在求例xxxf)1)(1(444x(x)f3xxxx解1,0,1,0)(xxxxf解得令112)f(再计算出.2)1(11)2(2,2)(ffxf，最小值为最大值为上的在出比较这三个函数值，得21)f(3f(0)计算出实际问题求最值应注意:建立目标函数;求最值;或最小）值．函数值即为所求的最（点，则该点的若目标函数只有唯一驻例7欲用长6m的铝合金材料加工一日字形窗框(如图所示),问它的长和宽分别为多少时,才能使窗户面积最大,最大面积是多少?.10xy，求得驻点令于是窗户的面积)36(21xxy2233xxxxx.)36(21mxxm，则长为设窗框的宽为解xy33例7欲用长6m的铝合金材料加工一日字形窗框(如图所示),问它的长和宽分别为多少时,才能使窗户面积最大,最大面积是多少?xxx.)36(21mxxm，则长为设窗框的宽为解.1,03是极大值点所以因为xy.)2,0(这个极大值就是最大值以内有唯一的极大值，所在区间由于y)(2/3y,2/31m2mm最大面积为时，面积最大，长为为于是得到，当窗户的宽课堂练习P83Ex38(4,5)课堂练习解答:的最大值和最小值求,40,1x1-xy)4(8函数在[0,4]内无驻点和导数不存在的点.因为f(0)=-1,f(4)=3/5所以函数的最大值是3/5,最小值是-1.2)1(2xy解（函数的极值在端点处取得）解令02)2(ln2lnxxxxxxxy得2ex计算出9ln31)91(f0)1(feef2)(2e2y0y2-ex1x最小值是，所以函数的最大值是的最大值和最小值求1,91,lnxy)5(8x.1x,2y02yx2y1x,0x2-2y1x1x2是极小点是函数的极小值所以因为得令解9(3)的极值，求利用极值判别法)4ln(22xxy3.4.3最大值与最小值在经济问题中的应用举例下面通过一些例题来了解如何利用函数的最值去研究、计算经济问题中的有关数据.利润是衡量企业经济效益的一贯主要指标.在一定的设备条件下,如何安排生产才能获得最大利润,这是企业管理中的一个现实问题.最大利润问题例8某厂生产某种产品,其固定成本为3万元,每生产一百件产品,成本增加2万元.其总收入R(单位:万元)是产量q(单位:百件)的函数:2215qqR求达到最大利润时的产量.解由题意，成本函数为qC2322133qqCRL于是,利润函数,3qL.3,0（百件）得令qL.3是最大值点唯一的极值点，所以就因为是时，函数取得极大值，所以当q即产量为300件时取得最大利润..C25309qC923值（单位：千元）的最小求平均可变成本是产量（单位：吨），，是成本（单位：千元）其中数为已知某个企业的成本函例yqqq92qy解,309q25-Cy2qq最小成本问题平均可变成本为.5.4092（吨），得令qqy.5.4取得极小值时，所以yq.以就是最小值由于是唯一的极值，所.75.9305.49)5.4(25.4（千元）qy.97505.4元最小值得吨时，平均可变成本取即产量为92qy小结求驻点和不可导点;求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,其中最大的就是最大值M,最小的就是最小值m.如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)实际问题求最值的步骤.注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.作业Ex38(1,2,6)9(1,2).8y0y0110,4,x2xy)1(84x0x最大值为，最小值为xy.2y,66y.66y2y27y2x02-x24-2xy-3,10,64xy)2(82x10x10x2x-3x2最小值为所以函数的最大值为，，计算出，得驻点，）（令x.82y,82y26y72y,82y,26y,82y4x-2x0)4)(2(32463xy-5,5,2243xy)6(84x-5x-2x5x4x-2x-5x223最小值是，所以函数的最大值是计算出，解得驻点令xxxxx.32301012y,012y1),-6(x6-6xy3x-1,x0,3)-1)(x3(xy593xy)1(93x-1x23yxyxxx函数取得极小值处，在处函数取得极大值在而得令.032743702y,02y16-6xy3,37x0,7)-3)(3x-(xy)2(3)-(xy)2(93x37x2yxyxxx处函数取得极小值在，处函数取得极大值在而得令