2016年-上海高考-数学试卷(理工农医类-含答案)

P.F.Productions制作上海市教育考试院保留版权数学（理）2016第1页（共4页）2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷(理工农医类)考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.PF制作2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.设xR，则不等式31x的解集为________.PF制作2.设32iiz，其中i为虚数单位，则Imz________.3.已知平行直线1l：210xy，2l：210xy，则1l与2l的距离是________.4.某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是________（米）.5.已知点(3,9)在函数()1xfxa的图像上，则()fx的反函数1()fx________.6.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD的边长为3，1BD与底面所成的角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于________.PF制作7.方程3sin1cos2xx在区间π[0,2]上的解为________.8.在32nxx的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________.9.已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________.10.设0a，0b.若关于,xy的方程组1,1axyxby无解，则ab的取值范围是________.1AA1DD1CC1BBP.F.Productions制作数学（理）2016第2页（共4页）11.无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项和.若对任意*nN，2,3nS，则k的最大值为________.12.在平面直角坐标系中，已知(1,0)A，(0,1)B，P是曲线21yx上一个动点，则BPBA的取值范围是________.13.设,abR，π[0,2)c.若对任意实数x都有π2sin3sin()3xabxc，则满足条件的有序实数组(,,)abc的组数为________.PF制作14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形128AAA的中心，1(1,0)A.任取不同的两点,ijAA，点P满足0jiOPOAOA，则点P落在第一象限的概率是________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.设aR，则“1a”是“21a”的（）.(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）.(A)65cosρθ(B)65sinρθ(C)65cosρθ(D)65sinρθ17.已知无穷等比数列na的公比为q，前n项和为nS，且limnnSS→∞.下列条件中，使得*2()nSSnN恒成立的是（）.PF制作(A)10a，0.60.7q(B)10a，0.70.6q(C)10a，0.70.8qPF制作(D)10a，0.80.7qOx3A7AxyO1A5A6A8A4A2AP.F.Productions制作数学（理）2016第3页（共4页）18.设()fx、()gx、()hx是定义域为R的三个函数，对于命题：①若()()fxgx、()()fxhx、()()gxhx均为增函数，则()fx、()gx、()hx中至少有一个增函数；②若()()fxgx、()()fxhx、()()gxhx均是以T为周期的函数，则()fx、()gx、()hx均是以T为周期的函数.下列判断正确的是（）.PF制作(A)①和②均为真命题(B)①和②均为假命题(C)①为真命题，②为假命题(D)①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.将边长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π23，11AB长为π3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧.PF制作(1)求三棱锥111COAB的体积；(2)求异面直线1BC与1AA所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1,0)，如图.(1)求菜地内的分界线C的方程；PF制作(2)菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为83.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的“经验值”.1AA1OOC1BxyEOFGH1S2SMP.F.Productions制作数学（理）2016第4页（共4页）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)yxbb的左、右焦点分别为1F、2F，直线l过2F且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为π2，△1FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设3b.若l的斜率存在，且11()0FAFBAB，求l的斜率.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知aR，函数21()logfxax.(1)当5a时，解不等式()0fx；(2)若关于x的方程2()log(4)250fxaxa的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；PF制作(3)设0a，若对任意1,12t，函数()fx在区间[,1]tt上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列na满足：只要pqaa（*,pqN），必有11pqaa，则称na具有性质P.(1)若na具有性质P，且11a，22a，43a，52a，67821aaa，求3a；(2)若无穷数列nb是等差数列，无穷数列nc是公比为正数的等比数列，151bc，5181bc，nnnabc，判断na是否具有性质P，并说明理由；(3)设nb是无穷数列，已知1sinnnnaba（*nN）.求证：“对任意1a，na都具有性质P”的充要条件为“nb是常数列”.P.F.Productions制作上海市教育考试院保留版权高考(2016)数学（理）答案第1页（共5页）2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半.如果有较严重的概念性错误，就不给分.解答一、（第1题至第14题）1.(2,4).2.3.3.255.PF制作4.1.76.5.2log(1)x.6.22.7.ππ5,66.8.112.9.733.10.(2,)∞.11.4.12.0,12.13.4.14.528.二、（第15题至第18题）PF制作题号15161718代号ADBD三、（第19题至第23题）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.(1)由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r.由11AB长为π3，可知π1113AOB.111111111113sin24OABSOAOBAOB△，11111113312COABOABVSh△.(2)设过点1B的母线与下底面交于点B，则11//BBAA，所以1CBB或其补角为直线1BC与1AA所成的角.由AC长为π23，可知π23AOC，又π1113AOBAOB，所以π3COB，PF制作1AA1OOC1BBP.F.Productions制作高考(2016)数学（理）答案第2页（共5页）从而△COB为等边三角形，得1CB.因为1BB平面AOC，所以1BBCB.在△1CBB中，因为π12BBC，1CB，11BB，所以π14CBB，从而直线1BC与1AA所成的角的大小为π4.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.(1)因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以EH为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分，其方程为24(02)yxy.(2)依题意，点M的坐标为1,14.所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114.矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值”.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.(1)设(,)AAAxy.PF制作由题意，2(,0)Fc，21cb，2224(1)Aybcb，因为△1FAB是等边三角形，所以23Acy，即244(1)3bb，解得22b.故双曲线的渐近线方程为2yx.(2)由已知，1(2,0)F，2(2,0)F.设11(,)Axy，22(,)Bxy，直线l：(2)ykx.显然0k.由221,3(2),yxykx得2222(3)4430kxkxk.PF制作因为l与双曲线交于两点，所以230k，且Δ236(1)0k.P.F.Productions制作高考(2016)数学（理）答案第3页（共5页）设AB的中点为(,)MMMxy.由11()0FAFBAB即10FMAB，知1FMAB，故11FMkk.而2122223Mxxkxk，26(2)3MMkykxk，12323FMkkk，所以23123kkk，得235k，故l的斜率为155.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.PF制作(1)由21log50x，得151x，解得1,(0,)4x∞∞.(2)1(4)25aaxax，2(4)(5)10axax，当4a时，1x，经检验，满足题意.当3a时，121xx，经检验，满足题意.PF制作当3a且4a时，114xa，21x，12xx.1x是原方程的解当且仅当110ax，即2a；2x是原方程的解当且仅当210ax，即1a.于是满足题意的(1,2]a.综上，