抽象函数性质

1抽象函数性质综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数()fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域的每一个值时，都有()()fxTfx，那么，函数()fx就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(xfy图象上任一点关于点P（或直线l）的对称点仍在函数)(xfy的图象上，则称函数)(xfy的图象关于点P（或直线l）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(xfy图象上任一点关于点P（或直线l）的对称点在函数()ygx的图象上；反过来，函数()ygx图象上任一点关于点P（或直线l）的对称点也在函数)(xfy的图象上，则称函数)(xfy与()ygx的图象关于点P（或直线l）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数)(xfy的定义域为R，且()()faxfxb恒成立，则函数)(xfy是以Tab为周期的周期函数；2、若函数)(xfy的定义域为R，且()()faxfbx恒成立，则函数)(xfy的图象关于直线2abx对称；3、若函数)(xfy的定义域为R，且()()faxfbx恒成立，则函数)(xfy的图象关于点(,0)2ab对称；4、若函数)(xfy的定义域为R，且()()faxfxb恒成立，则函数)(xfy是以2()Tab为周期的周期函数；5、若函数)(xfy的定义域为R，则函数()yfax与()yfbx的图象关于直线2bax对称；6、若函数)(xfy的定义域为R，则函数()yfax与()yfbx的图象关于点(,0)2ba对称.略证：1、()fxab[()]fxba[()]()fxbbfx，函数)(xfy是以Tab为周期的周期函数.2、函数)(xfy图象上的任一点00(,)Pxy（满足00()fxy）关于直线2abx的对称点为200(,)Qabxy，00()[()]fabxfbxa000[()]()fbbxfxy点Q仍在函数)(xfy的图象上，从而函数)(xfy的图象关于直线2abx对称.3、函数)(xfy图象上的任一点00(,)Pxy（满足00()fxy）关于点(,0)2ab的对称点为00(,)Qabxy，00()[()]fabxfbxa000[()]()fbbxfxy点Q仍在函数)(xfy的图象上，从而函数)(xfy的图象关于点(,0)2ab对称.4、(22)[(2)]fxabfxaba[(2)]()fxabbfxab[()]{[()]}()fxbafxbbfx,函数)(xfy是以2()Tab为周期的周期函数.5、函数()yfax图象上的任一点00(,)Pxy（满足00()faxy）关于直线2bax的对称点为00(,)Qbaxy，000[()]()fbbaxfaxy点Q在函数()yfbx的图象上；反之函数()yfbx的图象上任一点关于直线2bax的对称点也在函数()yfax图象上.从而函数()yfax与()yfbx的图象关于直线2bax对称.6、函数()yfax图象上的任一点00(,)Pxy（满足00()fxy）关于点(,0)2ba的对称点为00(,)Qbaxy，000[()]()fbbaxfaxy点Q在函数()yfbx的图象上；反之函数()yfbx的图象上任一点关于点(,0)2ba的对称点也在函数()yfax图象上.从而函数()yfax与()yfbx的图象关于点(,0)2ba对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数)(xfy满足()()fxfx，则函数)(xfy的图象关于y轴对称；函数)(xfy和函数()yfx的图象也关于y轴对称.2、若函数)(xfy满足()()fxfx，则函数)(xfy的图象关于原点对称；函数)(xfy和函数()yfx的图象也关于原点对称.3、若函数)(xfy满足()()fxafax，则函数)(xfy的图象关于y轴对称；而函数()yfxa和函数()yfax的图象关于直线xa对称.4、若函数)(xfy满足()()fxafax，则函数)(xfy的图象关于原点对称.而函数()yfxa和函数()yfax的图象关于点(,0)a对称.5、若函数)(xfy满足)()(xmfxmf，则函数)(xfy的图象关于直线mx对称；而函数()yfmx和函数()yfmx的图象关于y轴对称.36、若函数)(xfy满足)()(xmfxmf，则函数)(xfy的图象关于点)0,(m对称；而函数()yfmx和函数()yfmx的图象关于原点对称.7、若函数)(xfy满足()(2)fxfbx，则函数)(xfy的图象关于直线xb对称；函数()yfx和函数(2)yfbx的图象也关于直线xb对称.8、若函数)(xfy满足()(2)fxfbx，则函数)(xfy的图象关于点(,0)b对称；函数()yfx和函数(2)yfbx的图象也关于点(,0)b对称.9、若函数)(xfy满足()()fmxfxm，则函数)(xfy是以2Tm为周期的周期函数；若函数)(xfy满足()()fmxfxm，则函数)(xfy是以4Tm为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在R上的函数()fx,若同时关于直线xa和()xbab对称,即对于任意的实数x,函数()fx同时满足()()faxfax，()()fbxfbx，则函数()fx是以2()Tab为周期的周期函数.2、定义在R上的函数()fx,若同时关于点(,0)a和点(,0)()bab对称,即对于任意的实数x,函数()fx同时满足()()faxfax，()()fbxfbx，则函数()fx是以2()Tab为周期的周期函数.3、定义在R上的函数()fx,若同时关于直线xa和点(,0)()bab对称,即对于任意的实数x,函数()fx同时满足()()faxfax，()()fbxfbx，则函数()fx是以4Tab为周期的周期函数.略证：1、[2()]fxab[(2)]faxab[(2)]faxab=(2)fbx[()]fbbx[()]()fbbxfx，函数)(xfy是以2()Tab为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R上的函数()fx,若同时关于直线xa和2xa对称,即对于任意的实数x,函数()fx同时满足()()faxfax，(2)(2)faxfax，则函数()fx是以2Ta为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R上的函数()fx,若同时关于直线xa和点(2,0)a对称,即对于任意的实数x,函数()fx同时满足()()faxfax，(2)(2)faxfax，则函数()fx是以4Ta为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R上的函数()fx,若同时关于点(,0)a和直线2xa对称,即对于任意的实数x,函数()fx同时满足()()faxfax，(2)(2)faxfax，则函数()fx是以4Ta为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R上的函数()fx,若同时关于点(,0)a和点(2,0)a对称,即对于任意的实数x,函数()fx同时满足()()faxfax，(2)(2)faxfax，则函数()fx是以2Ta为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数()fx关于直线xa对称，即对于任意的实数x,函数()fx满足()()faxfax，则()fx是以2Ta为周期的周期函数.6、若偶函数()fx关于点(,0)a对称，即对于任意的实数x,函数()fx满足()()faxfax，则()fx4是以4Ta为周期的周期函数.7、若奇函数()fx关于直线xa对称，即对于任意的实数x,函数()fx满足()()faxfax，则()fx是以4Ta为周期的周期函数.8、若奇函数()fx关于点(,0)a对称，即对于任意的实数x,函数()fx满足()()faxfax，则()fx是以2Ta为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数()fx是以2Ta为周期的周期函数,又()fx[()]faxa[()]faxa(2)fax(2)fax[()]faax[()]()faaxfx函数)(xfy是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数()yfxa为偶函数，则函数)(xfy的图象关于直线xa对称.2、若函数()yfxa为奇函数，则函数)(xfy的图象关于点(,0)a对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解.3、定义在R上的函数()fx满足()()faxfax，且方程()0fx恰有2n个实根，则这2n个实根的和为2na.4、定义在R上的函数)(xfy满足()()(,,)faxfbxcabc为常数，则函数)(xfy的图象关于点(,)22abc对称.略证；任取xR，令12,xaxxbx，则12xxab，12()()fxfxc，由中点公式知点11(,())xfx与点22(,())xfx关于点(,)22abc对称.由x的任意性，知函数)(xfy的图象关于点(,)22abc对称.5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,①fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；②fxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数；③1fxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数；④fxafxa，则xf是以2Ta为周期的周期函数；5⑤1()()1()fxfxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数.⑥1()()1()fxfxafx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.⑦1()()1()fxfxafx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.