直线与平面的夹角

5.3直线与平面的夹角平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.注:(1)如果一条直线与一个平面平行或在平面内,这条直线与平面的夹角为0.(2)如果一条直线与一个平面垂直,这条直线与平面的夹角为/2.?,,是什么关系的夹角与该平面的法向量和该直线的方向向量与平面的夹角直线nsnsABABCABCnsns,2,2,时当ABC2,,,2nsns时当nsns,2,2,时当2,,,2nsns时当综上所述xzA1D1C1B1ABCDOy例1、如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A1B1C1D1，求对角线A1C与平面ABCD的夹角的正弦值.).1,0,0(,,,:11nCAsnABCDsCA则的法向量为平面的方向向量为设对角线解xzA1D1C1B1ABCDOy33sin故)1,1,1(),0,1,1(),1,0,0(11CACA所以因为.33||||,cosnsnsns从而,2,,2,1nsABCDCAns的夹角与平面所以故练习1、在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A1B1C1D1，E是A1D1的中点.求直线CE与平面ABCD的夹角的余弦值.xzA1D1C1B1ABCDOyE)1,21,1(CE32cos35sinxzA1D1C1B1ABCDOyFE.:,,,,,211111111的正弦值的夹角与平面直线求的中点分别是单位正方体在空间直角坐标系中有如图例ABEFACDACBFEDCBAABCD、.).0,1,1()0,1,1(),0,0,1(),0,0,0(:nABEFACCBA的法向量是设平面所以因为解xzA1D1C1B1ABCDOyFE)1,21,0(),0,0,1(AFAB因为00),,,(AFnABnzyxn则设.021,0zyx得xzA1D1C1B1ABCDOyFE,2,ACnABEFAC夹角的与故直线得取),21,1,0(n05101021||||,cos225ACnACnACn,2,ACn所以.510sin所以.:.2,2,1,,211111111的余弦值的夹角与平面直线求且长方体在空间直角坐标系中有如图练习BDDBCBAABCABDCBAABCD、xzA1D1C1B1ABCDOyFE)0,2,1(.11nnBDDB可取的法向量是设平面510||||,cos111CBnCBnCBn5102cosABCnsns,2,2,时当ABC2,,,2nsns时当