指数函数、对数函数、对勾函数小结

1对数函数与指数函数、对勾函数小结（一）指数与指数函数1．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:(0,,1)mnmnaaamnNn、且;②正数的负分数指数幂:11(0,,1)mnmnmnaamnNnaa、且注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a0,b0,r∈Q);.2．指数函数的图象与性质y=axa10a1图象定义域R值域（0，+）性质（1）过定点（0，1）（2）当x0时，y1;x0时,0y1(2)当x0时，0y1;x0时,y1(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1,∴cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。2（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xaNaa且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作logNax，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a0,1aa且logNa常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1aa且）：①1log0a，②log1aa，③logNaaN，④logNaaN。（2）对数的重要公式：①换底公式：loglog(,1,0)logNNabbaabN均为大于零且不等于；②1loglogbaab。（3）对数的运算法则：如果0,1aa且，0,0MN那么①NMMNaaaloglog)(log；②NMNMaaalogloglog；③)(loglogRnMnMana；④bmnbanamloglog。3、对数函数的图象与性质图象1a01a性质（1）定义域：（0,+）3（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当01x时，(,0)y；当1x时，(0,)y（4）当1x时，(,0)y；当01x时，(0,)y（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。∴0cd1ab.4、反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。（三）对勾函数图像及性质1.对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=f(x)=“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号时，f(x)=ax+的图象是由直线y＝ax与双曲线y=构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：为了研究方便，我们规定a0，b0。之后当a0，b0时，根据对称就很容易得出结论了。a0a0b0b0对勾函数的图像（ab同号）42.对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x0时，。当x0时，。即对勾函数的定点坐标：3.对勾函数的定义域、值域由2得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。4.对勾函数的单调性6.对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：7.对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，yXOy=ax5练习题：1、若32121xx，求23222323xxxx的值。2、当a0时，函数yaxb和ybax的图象只可能是（）3、函数bxaxf)(的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A．0,1baB．0,1baC．0,10baD．0,10ba4、设1.50.90.4812314,8,2yyy，则（）A、312yyyB、213yyyC、132yyyD、123yyy5、已知函数()fxxx22.(Ⅰ)用函数单调性定义及指数函数性质证明:()fx是区间),0(上的增函数；(Ⅱ)若325)(xxf，求x的值.6、计算：（1）)32(log32（2）2(lg2)2+lg2·lg5+12lg)2(lg2;（3）(log32+log92)·(log43+log83).7、比较下列各组数的大小.（1）log332与log556;2）log1.10.7与log1.20.7;6（3）已知log21b＜log21a＜log21c,比较2b,2a,2c的大小关系.8、已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.9、若x1.求11xxy的最小值10、若x1.求1222xxxy的最小值11、若x1.求112xxxy的最小值12、若x0.求xxy23的最小值13.已知函数)),1[(22xxaxxy（1）求的最小值时，求)(21xfa（2）若对任意x∈[1,+∞],f(x)0恒成立,求a范围14、若14x，则22222xxxy的最值是。15、若不等式2229ttatt在2,0t上恒成立，则a的取值范围是。