大纲版数学理科高考总复习9-8理解空间向量的概念与运算

•1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．了解空间向量的基本定理．掌握空间向量的数量积的定义及其性质．•2．历年高考经常以选择题或填空题考查利用向量法解决立体几何问题的能力．立体几何解答题一般既可用向量(坐标)法，也可用传统(综合)法解决，主要考查平行、垂直、夹角、距离等问题．•1．空间向量的有关概念•(1)空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量．•(2)相等向量：方向且模的向量．•(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线互相于同一平面的向量．•(4)共面向量：的向量．大小方向相同相等平行平行或重合•2．共线向量与共面向量•4．空间向量基本定理•如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组，使p＝.•空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成．不共面的三向量{a，b，c}构成空间的一个基底．任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．x、y、zxa＋yb＋zc•5．空间向量的数量积•(1)a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉(2)性质①cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|(用于求空间角)．②a⊥b⇔a·b＝0(用于证明空间线线垂直)．③|a|＝a·a(用于求线段长度)．④|bcosθ|＝|a·b||a|(用于求一个向量在另一个向量上的射影的长度)1．以下命题中正确的是()A．若OP→＝12OA→＋13OB→，则P、A、B三点共线B．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底C．|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|D．△ABC为直角三角形的充要条件是AB→·AC→＝0解析：根据“若OP→＝mOA→＋nOB→且m＋n＝1，则P、A、B三点共线”可知A错误；若{a，b，c}为空间的一个基底，则a、b、c为不共线向量．假设a＋b与b＋c共面，则存在实数λ，使a＋b＝λ(b＋c)，即a＝(λ－1)b＋c.∴a与b、c共面．∴假设不成立，即a＋b、b＋c不共面．可知B正确；根据向量数量积的定义，易知C不正确；△ABC为直角三角形的充要条件是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C中有一个是直角．答案：B2．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若AF→＝AD→＋xAB→＋yAA′→，则x－y等于()A．0B．1C.12D．－12•解析：如图所示，AF→＝AD→＋DF→，∴DF→＝xAB→＋yAA′→.∴12DC′→＝xAB→＋yAA′→.∴12AB′→＝12AB→＋12AA′→＝xAB→＋yBB′→.∴12AB→＋12BB′→＝xAB→＋yBB′→.∴x＝y＝12，x－y＝0.答案：A3．若a＝(2,2,0)，b＝(1,3，z)，〈a，b〉＝60°，则z等于()A.22B．－22C．±22D．±22解析：∵a·b＝8，|a|·|b|＝2210＋z2，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝822·10＋z2＝12，∴z＝±22.答案：C4．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA→，BC→〉的值是()A.12B.22C．－12D．0解析：cosOA→，BC→＝OA→·BC→|OA→||BC→|＝OA→·OC→－OB→|OA→||BC→|＝|OA→||OC→|cosπ3－|OA→||OB→|cosπ3|OA→||BC→|＝0.答案：D•5．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，高为3，底面ABCD是边长为2的菱形，∠B1A1D1＝60°，P是AD的中点，则PB1长为________．解析：∵PB1→＝－12AD→＋AB→＋BB1→，∴|PB1→|2＝(－12AD→＋AB→＋BB1→)2＝14|AD→|2＋|AB→|2＋|BB1→|2－AD→·AB→＝12∴|PB1|＝23.答案：23题型一空间向量的基本运算典例1如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a、b、c}表示以下向量：(1)AP→；(2)AM→；(3)AN→；(4)AQ→•【解】连结AC、AD′、AC′.(1)AP→＝12(AC→＋AA′→)＝12(AB→＋AD→＋AA′→)＝12(a＋b＋c)．(2)AM→＝12(AC→＋AD′→)＝12(AB→＋2AD→＋AA′→)＝12(a＋2b＋c)．(3)AN→＝12(AC′→＋AD′→)＝12[(AB→＋AD→＋AA′→)＋(AD→＋AA′→)]＝12(AB→＋2AD→＋2AA′→)＝12(a＋2b＋2c)＝12a＋b＋c.(4)AQ→＝AC→＋CQ→＝AC→＋45(AA′→－AC→)＝15AC→＋45AA′→＝15AB→＋15AD→＋45AA′→＝15a＋15b＋15c.•【方法技巧】用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．•变式1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O是AC的中点．(1)化简：A1O→－12AB→－12AD→；(2)设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，若EO→＝xAB→＋yAD→＋zAA1→，试求x、y、z的值．解：(1)∵AB→＋AD→＝AC→，∴A1O→－12AB→－12AD→＝A1O→－12(AB→＋AD→)＝A1O→－12AC→＝A1O→－AO→＝A1A→.(2)∵EO→＝ED→＋DO→＝23D1D→＋12DB→＝23D1D→＋12(DA→＋AB→)＝23A1A→＋12DA→＋12AB→＝12AB→－12AD→－23AA1→，∴x＝12，y＝－12，z＝－23.•题型二空间向量的应用•典例2如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.•【分析】要证明B1C∥平面ODC1，只需证明∥平面ODC1，进一步只要证明与平面ODC1中的一组基向量共面即可．【解】设C1B→＝a，C1D1→＝b，C1C→＝c，∵B1BCC1为平行四边形，∴B1C→＝c－a，又O是B1D1的中点，∴C1O＝12(a＋b)，OD1→＝C1D1→－C1O→＝b－12(a＋b)＝12(b－a)，又∵D1D綊C1C，∴D1D→＝c，∴OD→＝OD1→＋DD1→＝12(b－a)＋c，若存在实数x，y使B1C→＝xOD→＋yOC1→(x，y∈R)成立，则c－a＝x[12(b－a)＋c]＋y[－12(a＋b)]＝－12(x＋y)a＋12(x－y)b＋xc∵a，b，c不共线，∴12x＋y＝1，12x－y＝0，x＝1.解得x＝1，y＝1.∴B1C→＝OD→＋OC1→，又∵B1C→不在OD→、OC1→所确定的平面ODC1内，∴B1C∥平面ODC1.•【方法技巧】利用向量证明直线与平面平行有两种思路：其一是转化为线线平行，证明直线与平面内一条直线平行，这可由向量法证得；其二是由共面向量定理，只要将直线的方向向量用平面内的两个共点向量线性表示出来就可以证明，但必须说明直线不在平面内变式2在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.解：要证明A1O⊥平面GBD，只要证明A1O⊥平面GBD中的两条相交直线，如图所示，易知A1O⊥BD，而在△BDG中，GO与A1O垂直的可能性最大，故不妨尝试证明A1O⊥GO.由向量的数量积可知，只要证明A1O→·BD→＝0，A1O→·GO→＝0即可．证明：设A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c.则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，而A1O→＝A1A→＋AO→＝A1A→＋12(AB→＋AD→)＝c＋12(a＋b)，BD→＝AD→－AB→＝b－a，OG→＝OC→＋CG→＝12(AB→＋AD→)＋12CC1→＝12(a＋b)－12c，∴A1O→·BD→＝(c＋12a＋12b)·(b－a)＝c(b－a)＋12(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋12(b2－a2)＝12(|b|2－|a|2)＝0.A1O→·OG→＝(c＋12a＋12b)(12a＋12b－12c)＝14(a＋b)2＋14c·(a＋b)－12c2＝14(a2＋b2)－12c2＝14(|a|2＋|b|2)－12|c|2＝0.∴A1O⊥BD，A1O⊥OG.又∵BD∩OG＝O，∴A1O⊥平面GBD.•题型三空间向量的数量积•典例3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．•(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；•(2)求MN的长；•(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．【分析】把MN→用AB→，AC→，AD→表示出来，然后计算数量积，求模和夹角．【解】(1)证明：设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.由题意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q＋r－p)，∴MN→·AB→＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2)＝12(a2·cos60°＋a2·cos60°－a2)＝0.∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.(2)由(1)可知MN→＝12(q＋r－p)∴|MN→|2＝MN→2＝14(q＋r－p)2＝14[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝14[a2＋a2＋a2＋2(a22－a22－a22)]＝14×2a2＝a22.∴|MN→|＝22a，∴MN的长为22a.(3)设向量AN→与MC→的夹角为θ.∵AN→＝12(AC→＋AD→)＝12(q＋r)，MC→＝AC→－AM→＝q－12p，∴AN→·MC→＝12(q＋r)·(q－12p)＝12(q2－12q·p＋r·q－12r·p)＝12(a2－12a2·cos60°＋a2·cos60°－12a2·cos60°)＝12(a2－a24＋a22－a24)＝a22.又∵|AN→|＝|MC→|＝32a，∴AN→·MC→＝|AN→|·|MC→|·cosθ＝32a·32a·cosθ＝a22.∴cosθ＝23，∴向量AN→与MC→的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为23.【方法技巧】用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线段垂直，线面垂直等典型问题．(1)求向量m和n所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量m和n用该组基底表示出来，再求他们的数量积及自身长度，最后利用公式cos〈m，n〉＝m·n|m||n|.•(2)在向量性质中|a|2＝a·a提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题．•特别警示：求向量的数量积关键是求出两个向量的模和夹角．•变式3如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，且AA1与AB、AD的夹角都是120°，求：直线BD1与AC所成角的余弦值．解：依题意得，|AC→|＝2a，AC→＝AB→＋AD→，BD1→＝BA→＋AD→＋DD1→＝AA1→＋AD→－AB→.∴AC→·BD1→＝(AB→＋AD→)(AA1→＋AD→－AB→)＝AB→·AA1→＋AD→·AA1→＋AB→·AD→＋AD2→－AB2→－AB→·AD→＝－12ab－12ab＋a2－a2＝－ab.|BD1→|2＝BD1→·BD1→＝(AA1→＋AD→－AB→)(AA1→＋AD→－AB→)＝|AA1→|2＋|AD→|2＋|AB→|2＋2AA1→·AD→－2AB→·AD→－2AA1→·AB→b2＋a2＋a2＋2×(－12ab)－0－2×(－12ab)＝