初三数学相似三角形强化专训及答案

阶段强化专训一：平行线分线段成比例常见应用技巧证比例式技巧1.中间比代换法证比例式1．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB的值．(第1题)技巧2.等积代换法证比例式2．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，连接BF，求证：PEPF＝PAPB.(第2题)技巧3.等比代换法证比例中项3．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.求证：AD是AB和AF的比例中项．(第3题)证线段相等技巧4.等比例法证线段相等(等比过渡法)4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F.求证：DE＝EF.(第4题)证比例和为1技巧5.同分母的中间比代换法5．如图，已知AC∥EF∥BD，求证：AEAD＋BEBC＝1.(第5题)阶段强化专训二：证明相似三角形的方法要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”利用边或角的关系判定两直角三角形相似1．下面关于直角三角形相似叙述错误的是()A．有一锐角对应相等的两直角三角形相似B．两直角边对应成比例的两直角三角形相似C．有一条直角边相等的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似2．如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝7.5，CE＝2.5，求证：△ABC∽△DEC.(第2题)利用角判定两三角形相似3．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．(第3题)利用边角判定两三角形相似4．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP.(第4题)利用三边判定两三角形相似5．如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.(第5题)阶段强化专训三：巧作平行线构造相似三角形的技巧名师点金：解有关相似三角形题目时，常常遇到要证(或求)的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形时，我们通常可以作平行线构造出相似三角形，从而使问题得以解决．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF，AC于点P，Q，D，求BP∶PQ∶QD.(第1题)过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF∶AF＝3∶2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BEEC的值．(第2题)3．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB.(第3题)过一边上的点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：BPCP＝BDEC.(第4题)阶段强化专训四：三角形中位线的应用名师点金：三角形中位线定理有着广泛的应用，通常可以用来证明或求解许多问题，但我们很多时候往往不能直接利用这个定理，这时要善于观察图形中与定理有关的基本图形，特别是涉及已知中点有关条件时，通过巧妙添辅助线构造三角形中位线，可以准确有效地帮助我们解决问题．利用三角形中位线进行证明类型1证相等关系1．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E、F分别为AB、CD中点，点O为AC、BD的交点，M、N为EF与BD、AC的交点．求证：OM＝ON.(第1题)类型2证倍分关系2．如图，已知平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、F分别是AB、BC的中点，连线EF，交BD于M点．求证：(1)BM＝14BD；(2)ME＝MF.(第2题)类型3证不等关系3．如图，M、N是四边形ABCD的边BC、AD的中点，且AB与CD不平行．求证：MN＜12(AB＋CD)．(第3题)类型4证位置关系4．如图，自△ABC的顶点A，向∠ABC和∠ACB的平分线作垂线，垂足分别为D、E，连接DE.求证：DE∥BC.(第4题)利用三角形中位线探究多边形形状5．顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是()A．矩形B．平行四边形C．菱形D．任意四边形6．顺次连接正方形各边中点所得的四边形一定是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形7．D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB，AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.如图，当点O在△ABC的内部时，试判断四边形DGFE的形状，并说明理由．(第7题)利用三角形中位线求值8．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝8，且AD∶BC＝3∶7，E，F分别是BD，AC的中点，求EF的长．(第8题)阶段强化专训五：位似、位置与坐标名师点金：1.生活中很多物体的位置需用坐标来表示，其中选择参照物是确定位置的关键，参照物不同，往往表示同一位置的坐标也不同．2．求位似图形中点的坐标或作已知图形的位似图形时，要注意位似变换的要求是同侧还是异侧，若没有明确说明，则要根据实际情况分类讨论．位置与坐标类型1利用坐标表示座位号1．如图，王明的座位是1组2排，如果用有序数对(1，2)表示，那么张敏同学和石玲同学的座位，怎样用有序数对表示？(第1题)类型2利用坐标表示地理位置2．如图所示是一个雷达探测器的示意图，探测器的位置在O点(圆心位置)，如果六个同心圆的半径依次为1km，2km，3km，4km，5km，6km，请你以点O为参照点，用方位角和距离分别表示雷达探测器探测到的目标A，B，C，D，E，F的位置．(第2题)类型3利用坐标表示运动路径3．如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对(5，4)表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用(5，4)→(5，5)→(5，6)→(6，6)→(7，6)→(8，6)表示小军家到学校的一条路径．(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)(第3题)位似变换与坐标4．(2015·十堰)在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()A．(－2，1)B．(－8，4)C．(－8，4)或(8，－4)D．(－2，1)或(2，－1)(第5题)5．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，所得到的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是()A．－12aB．－12(a＋1)C．－12(a－1)D．－12(a＋3)平面直角坐标系中的位似变换作图6．如图，已知△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；(2)以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2∶1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．(第6题)阶段强化专训六：巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金：位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质；位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上．三角形的内接正三角形问题1．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．(第1题)三角形的内接矩形问题2．求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DE∶EF＝1∶2.(第2题)三角形的内接正方形问题(方程思想)3．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？(第3题)4．(1)如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：DPBQ＝PEQC.(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF，分别交DE于M，N两点．①如图②，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；②如图③，求证：MN2＝DM·EN.(第4题)答案阶段强化专训一1．解：∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.2．证明：∵DE∥BC，∴PDPB＝PEPC.∴PD·PC＝PE·PB.∵DF∥AC，∴PFPC＝PDPA.∴PD·PC＝PF·PA.∴PE·PB＝PF·PA.∴PEPF＝PAPB.3．证明：∵EF∥CD，∴AFAD＝AEAC.∵DE∥BC.∴ADAB＝AEAC.∴AFAD＝ADAB，∴AD是AB和AF的比例中项．4．证明：∵DE∥BC，∴ADDB＝AEEC.∵点D为AB的中点，∴AD＝DB，即ADDB＝1.∴AEEC＝1.∵CF∥AB，∴DEEF＝AEEC＝1.∴DE＝EF.5．证明：∵AC∥EF，∴BEBC＝BFBA①.又∵EF∥BD，∴AEAD＝AFAB②.①＋②，得BEBC＋AEAD＝BFBA＋AFAB＝ABAB＝1，即AEAD＋BEBC＝1.阶段强化专训二1．C2．证明：∵AD＝6.4，CD＝1.6，∴AC＝AD－CD＝6.4－1.6＝4.8.∴ACCD＝4.81.6＝3.又∵BCEC＝7.52.5＝3，∴ACCD＝BCEC.又∵BC⊥AD，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC.(第3题)3．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°.∴∠ACF＝120°.∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝12∠ACF＝12×120°＝60°.∴∠A＝∠ACE.又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED.(2)解：如图，作BM⊥AC于点M，则AM＝CM＝3，BM＝33.∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4.则MD＝1.在Rt△BDM中，BD＝BM2＋MD2＝27.由△ABD∽△CED得BDED＝ADCD，即27ED＝2，∴ED＝7.∴BE＝BD＋ED＝37.4．证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴ADQC＝2.∵BP＝3PC，∴BCPC＝4.又∵BC＝2DQ，∴DQPC＝2.在△ADQ和△QCP中，ADQC＝DQCP，∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.5．证明：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BD.又∵E，F分别是AB，AC的中点．∴在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线．∴DE＝12AB，即DEAB＝12.同理DFAC＝12.∵EF为△ABC的中位线，∴EF＝12BC，即EFBC＝12.∴DEAB＝EFBC＝DFAC.∴△DEF∽△ABC.阶段强化专训三1．解：连接DF.∵E，F是边BC上的两个三等分点，