2017全国卷1理科数学试题和答案

12017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合131xAxxBx，，则（）A．0ABxxB．ABRC．1ABxxD．AB【答案】A2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．14B．π8C．12D．π4【答案】B3.设有下面四个命题（）1p：若复数z满足1zR，则zR；2p：若复数z满足2zR，则zR；3p：若复数12zz，满足12zzR，则12zz；4p：若复数zR，则zR．A．13pp，B．14pp，C．23pp，D．24pp，【答案】B【解析】24.记nS为等差数列na的前n项和，若4562448aaS，，则na的公差为（）A．1B．2C．4D．8【答案】C5.函数fx在，单调递减，且为奇函数．若11f，则满足121fx≤≤的x的取值范围是（）A．22，B．11，C．04，D．13，【答案】D6.62111xx展开式中2x的系数为A．15B．20C．30D．35【答案】C.7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．16【答案】B8.右面程序框图是为了求出满足321000nn的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．1000A和1nnB．1000A和2nnC．1000A≤和1nnD．1000A≤和2nn【答案】D3【答案】因为要求A大于1000时输出，且框图中在“否”时输出∴“”中不能输入A1000排除A、B又要求n为偶数，且n初始值为0，“”中n依次加2可保证其为偶故选D9.已知曲线1:cosCyx，22π:sin23Cyx，则下面结论正确的是（）A．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC．把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD．把1C上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C【答案】D【解析】．10.已知F为抛物线C：24yx的交点，过F作两条互相垂直1l，2l，直线1l与C交于A、B两点，直线2l与C交于D，E两点，ABDE的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【答案】AA．235xyzB．523zxyC．352yzxD．325yxz【答案】D【答案】取对数：ln2ln3ln5xy.ln33ln22xy∴23xyln2ln5xz则ln55ln22xz∴25xz∴325yxz，故选D11.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件4的最小整数N：100N且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n组的项数为n，则n组的项数和为12nn由题，100N，令11002nn→14n≥且*nN，即N出现在第13组之后第n组的和为122112nnn组总共的和为2122212nnnn若要使前N项和为2的整数幂，则12nnN项的和21k应与2n互为相反数即*21214knknN，≥2log3kn→295nk，则2912954402N故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。12.已知向量a，b的夹角为60，2a，1b，则2ab________．【答案】23【解析】22222(2)22cos602ababaabb22122222244412∴21223ab13.设x，y满足约束条件21210xyxyxy，则32zxy的最小值为_______．【答案】55不等式组21210xyxyxy表示的平面区域如图所示yx2x+y+1=0x+2y-1=01CBA由32zxy得322zyx，求z的最小值，即求直线322zyx的纵截距的最大值当直线322zyx过图中点A时，纵截距最大由2121xyxy解得A点坐标为(1,1)，此时3(1)215z14.已知双曲线2222:xyCab，（0a，0b）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若60MAN，则C的离心率为_______．【答案】233【解析】如图，OAa，ANAMb∵60MAN，∴32APb，222234OPOAPAab∴2232tan34bAPOPab6又∵tanba，∴223234bbaab，解得223ab∴221231133bea15.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D、E、F为元O上的点，DBC△，ECA△，FAB△分别是一BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC△，ECA△，FAB△，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当ABC△的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm）的最大值为_______．【答案】415【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，ODBC36OGBC，即OG的长度与BC的长度或成正比设OGx，则23BCx，5DGx三棱锥的高22225102510hDGOGxxxx21233332ABCSxx△则21325103ABCVShxx△45=32510xx令452510fxxx，5(0,)2x，3410050fxxx令0fx，即4320xx，2x则280fxf≤则38045V≤∴体积最大值为3415cm7三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。16.ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC△的面积为23sinaA．（1）求sinsinBC；（2）若6coscos1BC，3a，求ABC△的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）∵ABC△面积23sinaSA.且1sin2SbcA∴21sin3sin2abcAA∴223sin2abcA∵由正弦定理得223sinsinsinsin2ABCA，由sin0A得2sinsin3BC.（2）由（1）得2sinsin3BC，1coscos6BC∵πABC∴1coscosπcossinsinCcoscos2ABCBCBBC又∵0πA，∴60A，3sin2A，1cos2A由余弦定理得2229abcbc①由正弦定理得sinsinabBA，sinsinacCA∴22sinsin8sinabcBCA②由①②得33bc∴333abc，即ABC△周长为33317.（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD∥中，且90BAPCDP．（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，求二面角APBC的余弦值．8【解析】（1）证明：∵90BAPCDP∴PAAB，PDCD又∵ABCD∥，∴PDAB又∵PDPAP，PD、PA平面PAD∴AB平面PAD，又AB平面PAB∴平面PAB平面PAD（2）取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE∵ABCD∴四边形ABCD为平行四边形∴OEAB由（1）知，AB平面PAD∴OE平面PAD，又PO、AD平面PAD∴OEPO，OEAD又∵PAPD，∴POAD∴PO、OE、AD两两垂直∴以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz设2PA，∴002D，，、220B，，、002P，，、202C，，，∴022PD，，、222PB，，、2200BC，，设nxyz,,为平面PBC的法向量由00nPBnBC，得2220220xyzx令1y，则2z，0x，可得平面PBC的一个法向量012n,,∵90APD，∴PDPA又知AB平面PAD，PD平面PAD∴PDAB，又PAABA∴PD平面PAB即PD是平面PAB的一个法向量，022PD,,∴23cos323PDnPDnPDn,由图知二面角APBC为钝角，所以它的余弦值为3318.（12分）为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2N，．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在33，之外的零件数，求1PX≥及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在33，之外的零件，就认为这9条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得1619.97iixx，16162221111160.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1216i，，，．用样本平均数x作为的估计值ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除ˆˆˆˆ33，之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布2N，,则330.9974PZ．160.99740.9592，0.0080.09．【解析】（1）由题可知尺寸落在33，之内的概率为0.9974，落在33，