高中数学知识点总结之不等式与数列篇

34.不等式的性质有哪些？（），100abcacbccacbc（），2abcdacbd（），300abcdacbd（），4011011abababab（），50abababnnnn（），或60||||xaaaxaxaxaxa如：若，则下列结论不正确的是（）110abAabBabb..222CababDabba.||||||.2答案：C35.利用均值不等式：abababRabababab222222，；；求最值时，你是否注意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定abRabab()()值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：ababababababR22222，当且仅当时等号成立。ababcabbccaabR222，当且仅当时取等号。abcabmn000，，，则babmamanbnab1如：若，的最大值为xxx0234（设yxx2342212243当且仅当，又，∴时，）340233243xxxxymax又如：，则的最小值为xyxy2124（∵，∴最小值为）22222222221xyxy36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。如：证明…1121312222n（…………112131111212311222nnn11121213111212……）nnn370.()()解分式不等式的一般步骤是什么？fxgxaa（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始如：xxx11202339.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分或讨论aa10140.对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式||xx311（解集为）xx|1241.||||||||||会用不等式证明较简单的不等问题ababab如：设，实数满足fxxxaxa()||2131求证：fxfaa()()(||)21证明：|()()||()()|fxfaxxaa221313|()()|(||)||||||||||xaxaxaxaxaxaxa11111又，∴||||||||||xaxaxa11∴fxfaaa()()||||2221（按不等号方向放缩）42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）如：恒成立的最小值afxafx()()afxafx()()恒成立的最大值afxafx()()能成立的最小值例如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是xxxaa32（设，它表示数轴上到两定点和距离之和uxx3223uaamin32555，∴，即或者：，∴）xxxxa32325543.等差数列的定义与性质定义：为常数，aaddaandnnn111()等差中项：，，成等差数列xAyAxy2前项和nSaannanndnn11212性质：是等差数列an（）若，则；1mnpqaaaamnpq（）数列，，仍为等差数列；2212aakabnnnSSSSSnnnnn，，……仍为等差数列；232（）若三个数成等差数列，可设为，，；3adaad（）若，是等差数列，为前项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52aSanbnabnnn0的二次函数）SSanbnannn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。adaaSnnnn110000当，，由可得达到最小值时的值。adaaSnnnn110000如：等差数列，，，，则aSaaaSnnnnnn1831123（由，∴aaaaannnnn12113331又·，∴Saaaa31322233113∴·Saanaannnnn12122131218n27）44.等比数列的定义与性质定义：（为常数，），aaqqqaaqnnnn1110等比中项：、、成等比数列，或xGyGxyGxy2前项和：（要注意）nSnaqaqqqnn111111()()!性质：是等比数列an（）若，则··1mnpqaaaamnpq（），，……仍为等比数列2232SSSSSnnnnn45.由求时应注意什么？Sann（时，，时，）naSnaSSnnn1211146.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法如：满足……aaaannnn121212251122解：naa1122151411时，，∴naaannn2121212215212211时，……12122得：nna∴ann21∴annnn141221()()［练习］数列满足，，求aSSaaannnnn111534（注意到代入得：aSSSSnnnnn1114又，∴是等比数列，SSSnnn144naSSnnnn23411时，……·（2）叠乘法例如：数列中，，，求aaaannannnn1131解：aaaaaannaannnn213211122311·……·……，∴又，∴aann133（3）等差型递推公式由，，求，用迭加法aafnaaannn110()naafaafaafnnn22321321时，…………两边相加，得：()()()aafffnn123()()()……∴……aafffnn023()()()［练习］数列，，，求aaaanannnnn111132（）ann1231（4）等比型递推公式acadcdccdnn1010、为常数，，，可转化为等比数列，设axcaxnn1acacxnn11令，∴()cxdxdc11∴是首项为，为公比的等比数列adcadccn111∴·adcadccnn1111∴aadccdcnn1111［练习］数列满足，，求aaaaannnn11934（）ann84311（5）倒数法例如：，，求aaaaannnn11122由已知得：1221211aaaannnn∴11121aann111121aan为等差数列，，公差为11112121annn·∴ann2147.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：是公差为的等差数列，求adaankkkn111解：由·11111011aaaaddaadkkkkkk∴11111111aadaakkknkkkn11111111111223111daaaaaadaannn……［练习］求和：…………111211231123n（…………，）aSnnn211（2）错位相减法：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项ababnnnnn和，可由求，其中为的公比。SqSSqbnnnn如：……Sxxxnxnn12341231xSxxxxnxnxnnn·……234122341121121：……xSxxxnxnnnxSxxnxxnnn11112时，xSnnnn112312时，……（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。SaaaaSaaaannnnnn121121…………相加21211Saaaaaannnn…………［练习］已知，则fxxxfffffff()()()()()2211212313414（由fxfxxxxxxxx()1111111112222222∴原式fffffff()()()()121231341412111312）