积分变换法

第12章积分变换法——求解偏微分方程的另一种方法1.积分变换通过积分运算，把一个函数f(x)变换为另一个函数，即：积分变换的核，决定了变换的具体形式f(x)：原函数，：像函数),(xKα∫=dxxKxfF),()()(αα)(αF)(αF几种积分变换：傅里叶变换拉普拉斯变换梅林变换1/21()()(2)ikxfkfxedxπ+∞−−∞=∫0()()ptfpftedt∞−=∫10()()Ffxxdxαα∞−=∫2.为什么进行积分变换?(1)经过变换后，函数关系变得简单。如：常微分方程代数方程；奇异函数(阶跃函数、函数、格林函数等)规则函数(2)对于有限边界的定解问题，分离变量法适宜；对于无界问题，积分变换法适宜。δ⇒⇒关于无界问题的说明：如果物体的体积很大，而所需要知道的只是在较短的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条件所产生的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但没有边界条件的定解问题(柯西问题)，但无边界条件就无法构成本征值问题(分离变量法的重要步骤)。3.积分变换法求解数理方程的基本思想如果不方便从原函数的方程直接求解,那么可能找到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函数，从而得到所要求的解。从物理上讲，经过积分变换后，域发生了变化。例：时间域t频率域空间域波矢域tieω−↔ikxe−↔12.1傅里叶变换一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数一个以2l为周期的函数f(x)，若在区间[-l,l]满足狄利克莱条件：(1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点，则f(x)在[-l,l]上可展开为傅里叶级数01()()2nnnanxnxfxacosbsinllππ∞==++∑利用三角函数的正交关系，可得傅里叶级数的复数形式(指数形式)：令，则1()sin(1,2,)lnlnbfdnllπξξξ−==∫1()cos(0,1,2,)lnlnafdnllπξξξ−==∫lnknπ=010101()(cossin)2[()()]222()222nnnnnnnnnnnnikxikxikxikxnnnikxikxnnnnnikxnnafxakxbkxaabeeeeiaaibaibeece∞=∞−−=∞−=∞=−∞=++=+++−−+=++=∑∑∑∑为了求系数需证明：()12nmlikknmledlξξδ−−=∫nc0112lilnmedlξξ××−==∫当时，()/()/()/11[]22()12()0llinmlinmlllinmllllnmeddellinmeinmπξπξπξξππ−−−−−−≠=−=−=∫∫当时，()12nmlikknmledlξξδ−−∴=∫积分得到从再对，两边同乘以对llxeecxfxiknxiknmn−=−∞−∞=∑)(()11()221()21()2mnmmnllikxikkxnllnlikxnnmmlnliknlfxedxcedxllfxedxcclcfedlξδξξ∞−−−−=−∞∞−−=−∞−−=⇒==⇒=∑∫∫∑∫∫二．傅里叶积分和傅里叶积分定理已知：满足狄利克莱条件的周期性函数f(x)可展开成傅里叶级数问题：非周期函数能否展开成傅里叶级数？设想周期函数的周期2l不断增大而趋于无穷，即自变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有限值，函数并不重复变化，即它已经转化为非周期函数。此时可以把符合一定条件的非周期函数展开成傅里叶积分。可以证明：如果定义在的函数在任一有限区间上满足狄利克莱条件，且绝对可积（有界），则在f(x)的连续点处，傅里叶积分存在：在f(x)的第一类间断点处，积分等于——傅里叶积分定理),(∞−∞dxxf∫∞∞−|)(|∫∫∞∞−∞∞−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dkedefxfikxikξξπξ)(21)()]0()0([21−++xfxf从傅里叶级数到傅里叶积分的过渡：由于，所以相邻两值之差为∞→l01→=−=Δ+lkkknnnπnk1()21nliknlnncfedlkkllξξξππ−−⎧=⎪⎪⎨Δ⎪Δ=→=⎪⎩∫将()nikxnnfxce∞=−∞=∑代入到中得001()[()]21[()]21[()]21[()]2nnnnnnnnlikikxlnllikikxnlknlikikxnlknikikxfxfedelkfedefedekfededkξξξξξξξξπξξπξξπ∞−→∞=−∞−∞−−Δ→=−∞∞−−Δ→=−∞∞∞−−∞−∞=Δ==Δ=∑∫∑∫∑∫∫∫LimLimLim(定积分定义)三维形式的傅里叶积分：112233112233()1231231233()1231(,,)[(,,)](2)ikkkikxkxkxfxxxfededkdkdkξξξξξξξξξπ∞∞−++−∞−∞++=∫∫采用记号：（书写方便）3213313131ξξξξξξddddekkeexxiiiiiiiii====∑∑∑===3123dkdkdkdk=332211ξξξξkkkk++=⋅→→∫∫∞∞−⋅∞∞−⋅−=kdedefxfxkiki333])([)2(1)(ξξπξ傅里叶积分的三角形式：由上式可见：正弦项是k的奇函数，对k的积分为零；余弦项是k的偶函数，为在区间积分值的两倍。∫∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−∞∞−−−+−==)](sin)([cos)(21)(21)()(ξξξξπξξπξxkixkdkfdefddkxfxik),0(∞0001()()cos[()]11{[()cos()]cos()[()sin()]sin()}[()cos()()sin()]fxdkfkxddkfkdkxfkdkxAkkxBkkxdkξξξπξξξξξξππ∞∞−∞∞∞∞−∞−∞∞=−=+=+∫∫∫∫∫∫其中：三．傅里叶变换的定义1.定义在傅里叶积分公式中令则11()()cos(),()()sin()AkfkdBkfkdξξξξξξππ∞∞−∞−∞==∫∫∫∫∞∞−∞∞−−=dkedefxfikxik])([21)(ξξπξ()()ikxfkfxedx∞−−∞=∫1()()2ikxfxfkedkπ∞−∞=∫可见：：f(x)的傅里叶变换记作：，即f(x)：的傅里叶逆变换记作：，即()()()(fxfk↔原函数像函数)[()]()Ffxfk=[()]()()ikxFfxfkfxedx∞−−∞==∫1()[()]fxFfk−=11[()]()()2ikxFfkfxfkedxπ∞−−∞==∫()fk()fk显然：f(x)的傅里叶变换的傅里叶逆变换等于自身，即2．三维傅里叶变换的定义11{[()]}[()]()FFfxFfkfx−−==333()()1()()(2)ikxikxfkfxedxfxfkedkπ∞−⋅−∞∞⋅−∞==∫∫四、函数的傅里叶展开函数可表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分证明：令，代入傅里叶正变换，得δδ(')1(')21cos(')2ikxxxxedkkxxdkδππ∞−−∞∞−∞−==−∫∫()(')fxxxδ=−'()(')ikxikxfkxxedxeδ∞−−−∞=−=∫再将上式代入傅里叶逆变换，有利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得'(')11(')()2212ikxikxikxikxxxxfkedkeedkedkδπππ∞∞−−∞−∞∞−−∞−===∫∫∫1(')cos(')sin(')21cos(')2xxkxxdkikxxdkkxxdkδππ∞∞−∞−∞∞−∞⎡⎤−=−+−⎢⎥⎣⎦=−∫∫∫3(')331(')(2)ikxxxxedkδπ∞−−∞−=∫i函数傅里叶展开的三维形式δ四．傅里叶变换的性质1．线性定理：若21,αα为任意常数，则对于任意函数)(1xf及)(2xf有)]([)]([)]()([22112211xfFxfFxfxfFαααα+=[phone][()()][()][()]FfkfkFfkFfkαααα−−−+=+证明：第一式。由傅里叶变换的定义出发：)]([)]([)()()]()([)]()([2211221122112211xfFxfFdxexfdxexfdxexfxfxfxfFikxikxikxαααααααα+=+=+=+∫∫∫∞∞−∞∞−−−∞∞−−2.延迟定理：设为任意常数，则)]([)]([00xfFexxfFikx−=−——对于发生了任意位移的函数，其傅里叶变换等于f(x)的傅里叶变换乘以一相位因子证明：由定义：0x0x0ikxe−)]([)()()()]([0000)(00xfFedueufedueufdxexxfxxfFikxikuikxxuikxxuikx−∞∞−−−∞∞−+−−=∞∞−−===−=−∫∫∫上式即为再对上式两边求傅里叶逆变换，有000[()][()]()ikxikxFfxxeFfxefk−−−==0001100(){[()]}{()}()[()]()ikxikxikxikxxFFfxxFefkfxxefkefkedk−−−∞−−∞∞−−∞−=⇒−==∫∫3.位移定理：设为任意常数，则00[()]()ikxFefxfkk=−——意义与延迟定理类似证明略。4.相似定理：设a为不等于0的常数，则1[()]()()||kFfaxfaaa=：压缩因子证明见教材p251。0k5.微分定理：若当则有说明：(1)原函数存在微分运算，像函数中没有微分运算；(2)微分运算(FT)⎯⎯⎯→代数运算(乘运算)。进而：常微代数方程，偏微常微证明：当n=1时，由傅里叶积分变换定义及分部积分法)]([)())((])([)(')]('[xfikFdxexfikdxeikxfexfdxexfxfFikxikxikxikx==−−==∫∫∫∞∞−−∞∞−−∞∞−−∞∞−−)11,0(0)(lim,||)(−==∞→∞→nmxfxmx⇒⇒)]([)()]([)()(xfFikxfFnn=类似可证明：扩展：对偏导数作傅里叶变换注：以上求偏导数和作傅里叶变换都是针对变量x但是：(,)(,)[][(,)](,)[]()[(,)]ikxnnnfxyfxyFedxikFfxyxxfxyFikFfxyx∞−−∞∂∂==∂∂∂=∂∫(,)(,)[][(,)](,)ikxikxfxyfxydFedxfxyedxyydydfkydy∞∞−−−∞−∞∂∂==∂∂=∫∫)]([)()]([)()(xfFikxfFnn=此时：求偏导数是对变量y，但作傅里叶变换是对变量x。6.积分定理：若f(x)满足微分定理的条件，则说明：(1)原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；(2)积分运算代数运算(除法运算)。证明略。()FT⎯⎯⎯→1[()][()]xFfdFfxikξξ−∞=∫7.卷积定理说明：(1)卷积的定义：(2)原函数存在卷积运算像函数间的普通乘积)]([)]([)](*)([2121xfFxfFxfxfF=)(*)(21xfxf()FT⎯⎯⎯→ξξξdxffxfxf)()()(*)(2121−=∫∞∞−证明：由定义得)]([)]([)()]([)]([)()]([)(])([)(])()([)()()]()([2112)]([2121212121212xfFxfFdefxfFdexfFfdxfFfddxexffdxedxffdxffFxfxfFikxfFikikxikx=∫=∫=∫=∫∫=∫∫=∫−∞∞−−∞∞−∞∞−∞∞−−∞∞−−∞∞−∞∞−∞∞−−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∗积分变换定义与积分无关延迟定理积分变换定义交换积分次序积分变换定义卷积定义ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ8.像函数的卷积定理证明见教材p253。9.乘积定理若和是x的实函数，则证明见教材p253。12121[()()]()()2Ffxfxfkfkπ=∗*1212*121()()()()21()()2fxfxdxfkfkdkfkfkdkππ∞∞−∞−∞∞−∞==∫∫∫1()fx2()fx12.2傅里叶变换法应用范围：求解无界区域的定解问题用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤：(1)对定解问题作傅里叶变换，化偏微分方