2019年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)

2019年1月广东省高中学业水平考试数学一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0,2,4},B={-2,0,2},则A∪B=()A.{0,2}B.{-2,4}C.[0,2]D.{-2,0,2,4}1.D【解析】由并集的定义，可得A∪B={-2,0,2,4}.故选D.2.设i为虚数单位,则复数i(3+i)=()A.1+3iB.-1+3iC.1-3iD.-1-3i2.B【解析】i(3+i)=3i+i2=3i-1.故选B.3.函数y=log3(x+2)的定义域为()A.(-2,+∞)B.(2,+∞)C.[-2,+∞)D.[2,+∞)3.A【解析】要使y=log3(x+2)有意义，则x+20，解得x-2，即定义域为(-2,+∞).故选A.4.已知向量a=(2,-2),b=(2,-1),则|a+b|=()A.1B.5C.5D.254.C【解析】由a=(2,-2),b=(2,-1),可得a+b=(4,-3),则|a+b|=42+(-3)2=5.故选C.5.直线3x+2y-6=0的斜率是()A.32B.-32C.23D.-235.B【解析】直线3x+2y-6=0，可化为y=-32x+3，故斜率为-32.故选B.6.不等式x2-90的解集为()A.{x|x-3}B.{x|x3}C.{x|x-3或x3}D.{x|-3x3}6.D【解析】由x2-90，可得x29，的-3x3.故选D.7.已知a0，则a3a2=()A.a12B.a32C.a23D.a137.D【解析】3a2=a23，则a3a2=aa23=a1-23=a13.故选D.8.某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为()A.7和53B.8和83C.7和1D.8和238.A【解析】平均数-x=16×(9+8+7+6+5+7)=7,方差s2=16[(9-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2]=53.故选A.9.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,BD1=2，则AA1=()D1C1B1A1DCBAA.1B.2C.2D.39.B【解析】在长方体中，BD12=AB2+AD2+AA12，则22=12+12+AA12，解得AA1=2.故选B.10.命题“∀x∈R，sinx+1≥0”的否定是()A.∃x0∈R，sinx0+10B.∀x∈R，sinx+10C.∃x0∈R，sinx0+1≥0D.∀x∈R，sinx+1≤010.A【解析】全称命题的否定是把全称量词改为存在量词，并否定结论，则原命题的否定为“∃x0∈R，sinx0+10”.故选A.11.设x,y满足约束条件x-y+3≥0，x+y-1≤0，y≥0，则z=x-2y的最大值为()A.-5B.-3C.1D.411.C【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示，当直线z=x-2y过点A(1,0)时，z取得最大值，zmax=1-2×0=1.故选C.CBAO3213211yx12.已知圆C与y轴相切于点(0,5)，半径为5，则圆C的标准方程是()A.(x-5)2+(y-5)2=25B.(x+5)2+(y-5)2=25C.(x-5)2+(y-5)2=5或(x+5)2+(y-5)2=5D.(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=2512.D【解析】由题意得圆C的圆心为(5,5)或(-5,5)，故圆C的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.故选D.13.如图，△ABC中，→AB=a,→AC=b，→BC=4→BD，用a,b表示→AD，正确的是()DCBAA.→AD=14a+34bB.→AD=54a+14bC.→AD=34a+14bD.→AD=54a-14b13.C【解析】由→BC=4→BD，可得→AC-→AB=4(→AD-→AB)，则→AD=34→AB+14→AC，即→AD=34a+14b.故选C.14.若数列{an}的通项an=2n-6，设bn=|an|，则数列{bn}的前7项和为()A.14B.24C.26D.2814.C【解析】当n≤3时，an≤0，bn=|an|=-an=6-2n,即b1=4,b2=2，b3=0.当n3时，an0,bn=|an|=an=2n-6，即b4=2,b5=4，b6=6,b7=8.所以数列{bn}的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.故选C.15.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴为A1A2，P为椭圆的下顶点，设直线PA1,PA2的斜率分别为k1，k2，且k1·k2=-12，则该椭圆的离心率为()A.32B.22C.12D.1415.B【解析】由题意得A1(-a,0),A2(a,0),P(0,-b)，则k1=-ba,k2=ba，则k1·k2=-b2a2=-12，即a2=2b2，所以c2=a2-b2=b2，离心率e=ca=c2a2=b22b2=22.故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16.已知角α的顶点与坐标原点重合，终边经过点P(4,-3)，则cosα=______.16.45【解析】由题意得x=4,y=-3，r=x2+y2=42+(-3)2=5,cosα=xr=45.17.在等比数列{an}中，a1=1，a2=2，则a4=______.17.8【解析】设等比数列{an}的公比为q,由题意得q=a2a1=2，则a4=a1q3=1×23=8.18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是______.18.25【解析】记2个白球分别为白1,白2,3个黑球分别为黑1，黑2，黑3，从这5个球中任取两球，所有的取法有{白1，白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白1，黑3}，{白2，黑1}，{白2，黑2}，{白2，黑3}，{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，共10种.其中取出的两球颜色相同取法的有4种，所以所求概率为p=410=25.19.已知函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2-4x，则当x∈(-∞，0)时，f(x)=______.19.-x2-4x【解析】当x∈(-∞，0)时，-x∈(0,+∞),由奇函数可得f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)]=-x2-4x.三、解答题：本大题共2小题，每小题12分，满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知cosA=35，bc=5.(1)求△ABC的面积；(2)若b+c=6,求a的值.20.【解析】(1)∵A是△ABC的内角，即A∈(0,π)，cosA=35，∴sinA=1-cos2A=45.又bc=5，∴S△ABC=12bcsinA=12×5×45=2.(2)由cosA=b2+c2-a22bc=35,bc=5，可得b2+c2-a2=6.由bc=5,b+c=6,可得b2+c2=(b+c)2-2bc=26.∴26-a2=6，解得a=25.21.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PA=PB=PC=2，E是AC的中点，点F在线段PC上.(1)求证：PB⊥AC;(2)若PA∥平面BEF,求四棱锥B-APFE的体积.(参考公式：锥体的体积公式V=13Sh，其中S是底面积，h是高.)FECBAP21.【解析】(1)∵PA⊥PB,PB⊥PC,PA⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,PA∩PC=P，∴PB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴PB⊥AC.(2)∵PA∥平面BEF,PA⊂平面PAC,平面BEF∩平面PAC=EF，∴PA∥EF.又E为AC的中点，∴F为PC的中点.∴S四边形APFE=S△PAC-S△FEC=34S△PAC.∵PC⊥PA,PA=PC=2，∴S△PAC=12×2×2=2.∴S四边形APFE=32.由(1)得PB⊥平面PAC,∴PB=2是四棱锥B-APFE的高.∴V四棱锥B-APFE=13S四边形APFE·PB=13×32×2=1.