离散型随机变量及其分布函数

一、离散型随机变量的分布函数二、几种常见的离散型随机变量三、小结第2.2节离散型随机变量及其分布函数一、离散型随机变量的分布函数离散型(1)离散型若随机变量所有可能的取值为有限个或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数.随机变量X的可能值是:随机变量连续型实例11,2,3,4,5,6.非离散型其它实例2若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X的可能值是:.,3,2,1实例3设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”,则X的所有可能取值为:.30,,3,2,1,0实例2随机变量X为“测量某零件尺寸时的测误差”.则X的取值范围为(a,b)内的任一值.实例1随机变量X为“灯泡的寿命”.).,0[(2)连续型若随机变量所有可能的取值可以连续地充满某个区间,则称其为连续型随机变量.则X的取值范围为说明;,2,1,0)1(kpk.1)2(1kkp..,2,1,}{,}{,),,2,1(的分布律量称此式为离散型随机变为的概率即事件取各个可能值的概率所有可能取的值为设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk定义离散型随机变量的分布律也可表示为nnpppxxxX2121~Xkpnxxx21nppp21或例1设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号灯.每盏灯以的概率禁止汽车通过.以表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信号灯的工作是相互独立的），求的分布律.01)pp（XX解：X的分布律为Xkp01234p(1)pp2(1)pp3(1)pp4(1)pxxkkpxXPxF}{)(分布函数分布律}{kkxXPp离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系：也就是：.)(}{)(xxxxkkkkxXPpxXPxF二、常见离散型随机变量的概率分布设随机变量X只取0与1两个值,它的分布律为1.两点分布则称X服从(0-1)分布或两点分布或伯努利分布.Xkp0p11p两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明2.二项分布若X的分布律为：则nkqpCkXPknkkn0,1,2,,}{称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为),(~pnBX,其中q＝1－p二项分布1n两点分布?)20,,1,0(20.20,2.0.1500,一级品的概率是多少只中恰有只元件问只现在从中随机地抽查品率为级已知某一大批产品的一小时的为一级品用寿命超过某种型号电子元件的使按规定kk分析这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理..2020,重伯努利试验只元件相当于做检查试验否为一级品看成是一次把检查一只元件看它是例2解,20只元件中一级品的只数记以X),.,(~2020BX则因此所求概率为.,,,,).().(}{201080202020kkkXPkk012.0}0{XP058.0}1{XP137.0}2{XP205.0}3{XP218.0}4{XP175.0}5{XP109.0}6{XP055.0}7{XP022.0}8{XP007.0}9{XP002.0}10{XP时当11,001.0}{kkXP图示概率分布.,400,02.0,率试求至少击中两次的概次独立射击设每次射击的命中率为某人进行射击解,X设击中的次数为)..,(~020400BX则的分布律为X,)98.0()02.0(400}{400kkkkXP.400,,1,0k因此}1{}0{1}2{XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1.9972.0例33.泊松分布0,1,2,,{},0,1,2,,!0.,~().kePXkkkXX设随机变量所有可能取的值为而取各个值的概率为其中是常数则称服从参数为的泊松分布记为泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放射出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)，发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.地震在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等都服从泊松分布.火山爆发特大洪水电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.泊松定理~(,){}(1)0,lim{}!nkknknnnnknXBnpPXkCppnpkPXkek设且满足则对任意非负整数有证明,npn由得knnknppknknkXP)()()!(!!}{1(1)(1)1)!knknnnkknn（）（121[1(1)(1)(1)](1)(1)!knkkknnnnn121[1(1)(1)(1)][(1)](1)!nkkkknnnnn,lim{}!knnPXkekll令有二项分布泊松分布n很大,p很小上面我们提到：设1000辆车通过,出事故的次数为X,则可利用泊松定理计算,1.00001.01000所求概率为--10009991000=10.99990.00010.99991.0047.0!11.0!011.01.0ee解}2{XP}1{}0{1}2{XPXPXP),.,(~000101000BX例4有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?4.几何分布若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布.实例设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目X是一个随机变量,求X的分布律.,1,qpXkpk21pqppqk1)(}{121kkAAAAPkXP)()()()(121kkAPAPAPAPppppk)1()1()1)(1(.1pqk),2,1(k所以X服从几何分布.说明几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.解.,3,2,1所取的可能值是X,个产品是正品抽到的第表示设iAi5.超几何分布设X的分布律为}),min{,,,,(}{nMmCCCmXPnNmnMNmM210.,,,服从超几何分布则称这里XNMMmNn超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.说明1.常见离散型随机变量的分布两点分布二项分布泊松分布几何分布三、内容小结超几何分布).,(,,)10(),,2,1(,,0,1,,,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为服从二项分布那末分布并且相互独立它们都服从次试验失败若第次试验成功若第设每次试验成功的概率为立重复伯努里试验次独对于分布的推广二项分布是.)10(.2泊松分布之间的关系分布二项分布与、).,,2,1,0(,!)()1(}{,,)(,nkeknpppknkXPnnppnnpkknk即为参数的泊松分布于以时趋当为参数的二项分布以二项分布泊松分布1010.p,n两点分布1n例1为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解.人设需配备N设备记同一时刻发生故障的,X台数为)..,(~,010300BX那末所需解决的问题,N是确定最小的使得合理配备维修工人问题备份题由泊松定理得,!3}{03NkkkeNXP故有,99.0!303Nkkke即Nkkke03!3113!3Nkkke,01.0.8是小的查表可求得满足此式最N个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.故至少需配备8.99.0}{NXP例2(人寿保险问题)有2500个同年龄同社会阶层的人在保险公司里参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取2000元.问(1)保险公司亏本的概率是多少?(2)保险公司获利不少于一万元的概率是多少?保险公司在1月1日的收入是250012=30000元解:设X表示这一年内的死亡人数,则)002.0,2500(~BX•保险公司这一年里付出2000X元.假定2000X30000,即X15人时公司亏本.于是,P{公司亏本}=P{X15}=1-P{X14}由泊松定理得,5002.02500P{公司亏本}0002.0!511405kkke(2)获利不少于一万元,即也即X10P{获利不少于一万元}=P{X10}105050.9863!kkek30000-2000X10000，