高等代数-二次型

1第五章二次型•一、二次型及其标准形的概念•二、二次型的表示方法•三、二次型的矩阵及秩•四、化二次型为标准形•五、惯性定理•六、正(负)定二次型的概念•七、正(负)定二次型的判别2一、二次型及其标准形的概念nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222,,,称为二次型.的二次齐次函数个变量含有定义nxxxn,,,121;,称为是复数时当faij复二次型.,称为是实数时当faij实二次型3只含有平方项的二次型2222211nnykykykf称为二次型的标准形（或法式）．例如23222132144,,xxxxxxf为二次型的标准形.只含有平方项的且形如以下二次型221221rppyyyyf称为二次型的规范形41．用和号表示nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222,,,对二次型,aaijji取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij则于是nnxxaxxaxaf1121122111.1,xxajinjiijnnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa二、二次型的表示方法52．用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa)()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),,,(6.,为对称矩阵其中则二次型可记作AAXXfT,,21212222111211nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,,,7三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．;的矩阵叫做二次型对称矩阵fA;的二次型叫做对称矩阵Af.的秩的秩叫做二次型对称矩阵fA8解,a,a,a321332211,aa22112,aa03113.aa33223330322021A的矩阵及秩写出二次型32212322216432xxxxxxxf例１3二次型秩为.100110021~9四、化二次型为标准形2.正交线性替换法1.配方法Ｐ２０６例２3.初等变换法10nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,,设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．),(cCij记记作则上述可逆线性变换可CYX11AXXfT有将其代入,AXXfTYACCYTTCYACYT.BYYTBABAACCBCnBAT~合同。记为，则称矩阵使得，阶矩阵，存在可逆矩阵为两，设矩阵的合同CYX12说明2222211)()(nnTyyyCYACYkkk就是要使变成标准形经可逆变换要使二次型,2CYXf.,),,,(212121yyykkkyyynnn.成为对角矩阵也就是要使ACCT;,,1ACCBAfCYX.T变为的矩阵由但其秩不变后二次型经可逆变换13有型把此结论应用于二次即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩,.,,,1APAPPAPPT化为标准形使正交变换总有任给二次型定理fPYXAXXfT,,,2222211nnyyyf.,,,21的特征值的矩阵是其中ijnaAf14用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAXXfT求出将二次型表成矩阵形式;,,,.221nA的所有特征值求出;,,,.321n征向量求出对应于特征值的特;,,,,,,,,,,,,.4212121nnnC记得单位化正交化将特征向量.,.52211nnyyffCYX的标准形则得作正交变换15解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值144241422217A144241422217EA9182.,844141417323121232221化成标准形通过正交变换将二次型PYXxxxxxxxxxf例216从而得特征值.18,9321得基础解系代入将,091xEA2．求特征向量得基础解系代入将,01832xEA,)0,1,2(2T.)1,0,2(3T3．将特征向量正交化,11取.)1,1,21(1T,22,,,2223233得正交向量组.)1,54,52(3T,)0,1,2(2T,)1,1,21(1T17,3,2,1,iiii令得,051522,3232311.4554544523.45503245451324525231P所以4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P18于是所求正交变换为,45503245451324525231321321yyyxxx.18189232221yyyf且有19解例3.222222,434232413121化为标准形把二次型求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx二次型的矩阵为,0111101111011110A它的特征多项式为20.111111111111EA有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,1111111111111)1(EA有四行分别减去第一行三把二,,,211000212022101111)1(EA1221)1(2.)1()3()32()1(322.1,34321的特征值为于是A,0)3(,31xEA解方程时当22,11111得基础解系.1111211p单位化即得,0)(,1432xEA解方程时当,1111,1100,0011232可得正交的基础解系23单位化即得21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为YX2121021212102121021212102121.324232221yyyyf且有24二、小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．25五、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．只含有平方项的且形如以下二次型221221rppyyyyf称为二次型的规范形且规范型是唯一的线性替换化为规范型，可通过可逆任一二次型惯性定理定理AXXfT)(1正惯性指数:规范型中正项个数.负惯性指数:规范型中负项个数26六、正(负)定二次型的判概念•1.正定二次型与正定矩阵P215•2.负定二次型与负定矩阵P22027七、正(负)定二次型的判别.:1.个系数全为正它的标准形的件是为正定的充分必要条实二次型nAXXfT。它的正惯性指数为件是为正定的充分必要条实二次型nAXXfT:2.。它的所有特征值为正数件是条为正定矩阵的充分必要实对称矩阵:3.A大于零。它的所有顺序主子式都件是条为正定矩阵的充分必要实对称矩阵:4.A28正定矩阵具有以下一些简单性质;,,A,.11T定矩阵均为正则为正定实对称阵设AAA.,,.2矩阵也是正定则阶正定矩阵均为若BAnBA29例1判别二次型32312123222132148455,,xxxxxxxxxxxxf是否正定.解的矩阵为321,,xxxf,524212425它的顺序主子式,05,011225,01524212425故上述二次型是正定的.30例2判别二次型312322213214542,,xxxxxxxxf是否正定.解二次型的矩阵为,502040202A用特征值判别法.0AE令.6,4,1321故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，A31例3判别二次型xzxyzyxf44465222的正定性.解的矩阵为f,0511a,0266225,080A.13为负定知根据定理f,402062225A322.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．