高等代数选讲

深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲（2006年10月重印版）课程编号23120039C课程名称高等代数选讲课程类别综合选修教材名称高等代数选讲制订人郭辉审核方楚泽2005年4月修订一、课程设计的指导思想（一）课程性质1.课程类别：综合选修课2.适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向）3.开设学期：第七学期4.学时安排：周学时2，总学时365.学时安排：2学分（二）开设目的本课程是大学数学类专业重要基础课程—“高等代数”的深化和提高，其主要任务是使学生获得对“高等代数”各个重要的知识点（多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等）有一个系统的理解和掌握，弄清各个重要的知识点之间的有机联系。它一方面对提高学生的数学思维能力，开发学生智能、培养学生创造性能力等具有重要的作用；另一方面还对学生的进一步深造（如报考研究生等）、进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术知识提供必要的准备。（三）基本要求在学习本课程过程中，学生应特别注意培养自己的数学思维能力与逻辑推理能力，对基本概念、基本理论有实质性的理解，并力求弄清各个重要的知识点之间的有机联系。（四）主要内容包括多项式理论和线性代数理论。线性代数理论包括行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等。（五）先修课程高等代数（六）后继课程大学数学类本科课程以及有关研究生课程等（七）考核方式开卷考查（八）使用教材自编投影稿（九）参考书目1．张禾瑞,郝鈵新．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1999年，第4版．2．北京大学数学系编．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1988年，第2版．二、教学内容第一讲多项式教学目的多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代数学的一个基本概念，它在数学本身和实际应用中经常被用到。通过本章的系统学习，使学生掌握多项式理论的基本概念和研究方法，提高运算能力和逻辑推理能力，为后继内容和后继学科的学习打下坚实的基础。主要内容多项式的整除性；多项式的最大公因式；多项式的分解；重因式；多项式函数，多项式的根；复数域和实数域上的多项式；有理数域上的多项式。教学要求（1）理解最大公因式和互素的概念，掌握辗转相除法；（2）理解不可约多项式的概念、性质及唯一分解定理；（3）理解重因式的概念，及其与导数的关系；（4）理解余式定理及综合除法；（5）理解复数域和实数域上的多项式的分解定理；（6）掌握整系数多项式求有理根的方法及Eisenstein判别法；（7）掌握带余除法；辗转相除法。第二讲行列式教学目的行列式是研究代数学的有力工具。通过本章的系统学习，使学生掌握行列式的性质和计算行列式的一般方法，使学生的运算能力得到进一步的训练和提高，为后继章节及后继内容的学习打下基础。主要内容行列式的展开；克拉默规则。教学要求（1）掌握n阶行列式的按行按列展开，能利用性质和展开计算一个n阶行列式；（2）掌握克拉默规则。第三讲线性方程组教学目的线性方程组是代数学的基础。通过本章的系统学习，使学生掌握利用初等变换解线性方程组的一般方法，线性方程组可解的判别法及解的结构，为后继章节及后继内容的学习打下基础。主要内容矩阵的秩，线性方程组可解的判别法；线性方程组的公式解。教学要求（1）了解线性方程组的公式解。（2）理解系数矩阵、增广矩阵的概念；矩阵的秩的概念。（3）熟练掌握矩阵的三种初等变换。（4）熟练掌握线性方程组可解的判别法；掌握解的结构。第四讲矩阵教学目的矩阵是代数学的基础，也是代数学本身的主要研究对象之一。在数学本身和其它学科中经常要用到它。通过本章的系统学习，使学生掌握矩阵的一般理论和研究方法，为后继内容和后继学科的学习打下坚实的基础。主要内容矩阵的运算；可逆矩阵，矩阵乘积的行列式；矩阵的分块。教学要求（1）熟练掌握矩阵的各种运算；（2）掌握可逆矩阵的概念；掌握矩阵可逆的若干等价定理；（3）熟练掌握求逆矩阵的两种方法。第五讲向量空间教学目的向量空间是代数学的基础概念，其理论和方法已渗透到自然科学、工程技术的各个领域。通过本章的系统学习，使学生掌握向量空间的基本概念，研究向量空间的一般方法，向量空间在研究齐次线性方程组中的重要作用。同时使学生的抽象思维能力得到训练和提高，为后继章节及后继内容的学习打下基础。主要内容子空间；向量的线性相关性；基和维数；坐标；向量空间的同构；齐次线性方程组的解空间。教学要求（1）理解线性相关的概念；能判断一组向量的线性相关性；（2）熟练掌握基、维数和坐标这三个概念；掌握过渡矩阵的概念。（3）掌握齐次线性方程组的解的结构。第六讲线性变换教学目的线性变换是线性代数的主要内容之一。引入线性变换关于基的矩阵，使抽象变为具体；引入特征值和特征向量，研究矩阵对角化问题，使复杂变为简单。通过本章的系统学习，使学生掌握线性变换的基本概念，研究线性变换的一般方法，同时提高抽象思维能力和创新思维能力，培养解决问题的能力。主要内容线性变换的运算；线性变换和矩阵；不变子空间；本征值和本征向量；可以对角化的矩阵。教学要求（1）理解和掌握线性变换和矩阵的一一对应关系；（2）理解不变子空间的概念；（3）掌握本征值和本征向量的概念；（4）掌握矩阵的相似关系；（5）能熟练计算线性变换(或矩阵)的本征值和本征向量；（6）理解和掌握矩阵可以对角化的充要条件；并将其对角化。第七讲欧氏空间教学目的欧氏空间是特殊的向量空间，它的理论和方法在数学、物理和工程技术上都有重要的应用。通过内积的引入，使向量空间“度量”化，进一步系统研究欧氏空间的两大变换----正交变换和对称变换，为后继学科及后继内容的学习打下基础。同时提高学生的抽象思维能力，培养解决问题的能力。主要内容向量的内积；正交基；正交变换；对称变换和对称矩阵。教学要求（1）理解内积和欧氏空间的概念；（2）掌握规范正交基的概念；熟练掌握施密特正交化方法；（3）掌握正交变换与正交矩阵的对应关系；（4）掌握对称变换与对称矩阵的对应关系；（5）能熟练地将一个对称变换（或对称矩阵）进行对角化。第八讲二次型教学目的二次型也是线性代数的主要研究对象之一，二次型的理论在数学和自然科学的许多分支中都有广泛的应用。通过本章的系统学习，使学生掌握二次型的基本概念，二次型的各种类型，研究二次型的一般方法，同时提高抽象思维能力，培养解决问题的能力。主要内容二次型和对称矩阵；复数域和实数域上的二次型；正定二次型；主轴问题。教学要求（1）理解二次型和对称矩阵的对应关系、二次型的秩的概念；（2）理解矩阵的合同关系；能将一个二次型进行合同变换；（3）理解惯性定理；（4）掌握正定二次型和正定矩阵的概念；（5）掌握二次型（或对称矩阵）正定的充要条件和判别法；（6）能熟练地利用正交化方法将一个二次型（或对称矩阵）化为标准型。注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章（讲）教学目的、教学要求、主要内容。三、课时分配及其它（一）课时分配课程总教学时数为36学时，安排在第七学期，每周2学时，上课18周。具体分配如下第一讲多项式5学时第二讲行列式3学时第三讲线性方程组4学时第四讲矩阵5学时第五讲向量空间5学时第六讲线性变换5学时第七讲欧氏空间5学时第八讲二次型4学时（二）考核要求1.成绩评价平时成绩（含考勤、课堂表现、作业）占30%，期末（卷面）成绩占70%。2.命题说明题型应多样化，设计适当的开放性问题。计算题(主要考查学生对高等代数基本方法的具体、灵活应用)、证明题(主要考查学生对高等代数基本理论、基本方法的综合运用能力)的比例约为1/3。难、易题的比例约为35％难、65％适中。涉及课堂内容的100％。试卷采用A、B卷。注：必须写明各学期教学的总时数及各章（讲）学时数。