2018版高中数学人教版A版必修一学案：第三单元-3.1.2-用二分法求方程的近似解-Word版含答

3.1.2用二分法求方程的近似解学习目标1.能用二分法求出方程的近似解.2.了解二分法求方程近似解．预习教材P89－P90，完成下面问题：知识点1二分法的定义(1)满足的条件：在区间[a，b]上连续不断的函数y＝f(x)且在区间端点的函数值满足：f(a)f(b)0.(2)操作过程：把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值．【预习评价】二分法求函数的零点的近似值适合于()A．零点两侧函数值异号B．零点两侧函数值同号C．都适合D．都不适合解析由函数零点的存在性定理可知选A．答案A知识点2二分法求函数零点近似值的步骤【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．()提示(1)×如果函数x－2＝0用二分法求出的解就是精确解．(2)×对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)0，所以不能用二分法求其零点．(3)×函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．题型一二分法概念的理解【例1】(1)下列函数中，不能用二分法求零点的是()(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1,3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．解析(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－70，f(3)＝100，f(2)＝30，f(x)零点所在的区间为(1,2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1,2)．答案(1)B(2)(1,2)规律方法运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．【训练1】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3解析图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.答案D题型二用二分法求函数的零点【例2】用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)．解经计算，f(1)0，f(1.5)0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.25)·f(1.5)0，所以x0∈(1.25,1.5)．如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点中点函数值符号(1,1.5)1.25f(1.25)0(1.25,1.5)1.375f(1.375)0(1.25,1.375)1.3125f(1.3125)0(1.3125,1.375)1.34375f(1.34375)0(1.3125,1.34375)1.328125f(1.328125)0(1.3125,1.328125)1.3203125f(1.3203125)0因为|1.328125－1.3203125|＝0.00781250.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328125.规律方法用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．【训练2】证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1)．解设函数f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－10，f(2)＝40.又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间(1,2)上有唯一一个实数解，设该解为x0，则x0∈(1,2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.330，f(1)f(1.5)0，∴x0∈(1,1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)＝0.1280，f(1)·f(1.25)0，∴x0∈(1,1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.440，f(1.125)·f(1.25)0，∴x0∈(1.125,1.25)．取x4＝1.1875，f(1.1875)＝－0.160，f(1.1875)·f(1.25)0，∴x0∈(1.1875,1.25)．∵|1.25－1.1875|＝0.06250.1，∴可取x0＝1.25，则方程的一个实数解可取x0＝1.25.题型三用二分法求方程的近似解【例3】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f(a＋b2)(0,1)0.5f(0)＜0f(1)＞0f(0.5)＜0(0.5,1)0.75f(0.5)＜0f(1)＞0f(0.75)＞0(0.5,0.75)0.625f(0.5)＜0f(0.75)＞0f(0.625)＜0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)＜0f(0.75)＞0f(0.6875)＜0由于|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.规律方法用二分法求方程的近似解的思路和方法(1)思路：求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)方法：对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．【训练3】求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解设f(x)＝x2－2x－1.因为f(2)＝－10，f(3)＝20，所以可以确定区间(2,3)作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(2)＝－1，f(3)＝2(2,3)x1＝2＋32＝2.5f(2.5)＝0.250(2,2.5)x2＝2＋2.52＝2.25f(2.25)＝－0.43750(2.25,2.5)x3＝2.25＋2.52＝2.375f(2.375)0(2.375,2.5)x4＝2.375＋2.52＝2.4375f(2.4375)0(2.375,2.4375)由上表的计算可知，|2.375－2.4375|＝0.06250.1.因此可以选取区间(2.375,2.4375)的任意一个数，例如取2.4作为函数的一个零点，从而方程x2＝2x＋1的一个近似解为2.4.课堂达标1．下列函数中能用二分法求零点的是()解析在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点．答案C2．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()A．0.9B．0.7C．0.5D．0.4解析由题意可知函数的零点在(0.68,0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|0.1，故选B．答案B3．用二分法求关于x的方程lnx＋2x－6＝0的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是()A．(2,3)B．(0,2)C．(1,2)D．(0，＋∞)解析令函数f(x)＝lnx＋2x－6，可判断在(0，＋∞)上单调递增，∴f(1)＝－4，f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln30，∴根据函数的零点判断方法可得：零点在(2,3)内，方程lnx＋2x－6＝0的近似解在(2,3)内．故选A．答案A4．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.解析由3－12n0.1，得2n－110，∴n－1≥4，即n≥5.答案55．判定方程3x－x2＝0在区间[1,2]内是否有实数解，若有，求出精确度为0.01的近似解；若没有，请说明理由．解方程3x－x2＝0在区间[1,2]内没有实数解，下面说明理由．设f(x)＝3x－x2，则f(1)＝20，f(2)＝50，又根据函数y＝3x，y＝x2增长速度可知，当x∈[1,2]时，3x－x20恒成立，故不存在x∈[1,2]，使3x－x2＝0.即方程3x－x2＝0在区间[1,2]内没有实数解．课堂小结1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)＜0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。（舞低杨柳楼心月歌尽桃花扇底风）我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。你必得一个人和日月星辰对话，和江河湖海晤谈，和每一棵树握手，和每一株草耳鬓厮磨，你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白，为什么不管做了多么明智合理的选择，在结果出来之前，谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的，只是坚信那个选择，尽量不留下后悔而已。看不见的，是不是就等于不存在？记住的，是不是永远不会消失？每一个黄昏过后，大家焦虑地等待，却再也没有等到月亮升起。潮水慢慢平静下来，海洋凝固成一面漆黑的水镜，没有月亮的夜晚，世界变得清冷幽寂．但是，最深的黑夜即将过去，月亮出来了……记忆的冰川在岁月的侵蚀下，渐渐崩塌消融。保持着最初的晶莹的往事，已经越来越稀少。灼灼其华，非我桃花。苍苍蒹葭，覆我其霜。芦荻不美，桃花艳妖。知我怜我，始觉爱呵。只要春天还在我就不会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还可以重新回来只要生命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存只要明天还在我就不会悲哀冬雪终会悄悄融化春雷定将滚滚而来孤独，寂静，在两条竹篱笆之中，篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。一袭粉色拖地蝶园纱裙，长发垂至脚踝，青丝随风舞动。眸若点漆，水灵动人，冰肤莹彻，气质脱俗，眼波转动间却暗藏睿智锋芒。淡雅如仙，迎风而立的她，宛若来自天堂的。暖有时候猛烈地指责别人说谎，其实是太渴望那消息真实。原来时间也会失误和出现意外，并因此迸裂，在某个房间里留下永恒的片段。尘世里，总有些什么，让我们不自觉地微笑，使我们的坚硬，在一瞬间变得柔软。婴儿的梦呓，幼童的稚语，夕阳下相互搀扶的老人.......那天黄昏，紫岚在栖身的石洞口默黩地注视着落日。余晖变幻着色调，嫣红、水红、玫瑰红，转瞬便消失在天涯尽头；草原被铅灰色的暮霭垄断了，苍茫沉静。孔明灯真的很漂亮，就像是星星流过天河的声音。你既然已经做出了选择，又何必去问为什么选择。原来岁月太长，可以丰富，可以荒