二次函数与几何图形综合

1二次函数与几何图形综合类型1利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上→点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积．1．(牡丹江中考)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．2．二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－12x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．3．如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．2类型2二次函数图象与“线段之和最短”问题如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决．4．如图，已知抛物线y＝28(x＋2)(x－4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)设动点N(－2，n)，求使MN＋BN的值最小时n的值．5．如图，已知抛物线y＝－1m(x＋2)(x－m)(m0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．36．如图，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3.(1)求抛物线的解析式．(2)点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)，C(5，0)，二次函数y＝45x2＋bx＋c的图象抛物线经过A，C两点．(1)求该二次函数的表达式；(2)F，G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D，E，F，G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值．48.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)．请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)点E(2，m)在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．9.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由.5参考答案1.(1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，∴c＝3，0＝a－2＋c.解得a＝－1，c＝3.∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．∴BE＝2，DE＝4.∴BD＝BE2＋DE2＝25.2.(1)∵二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，∴4＝－1－m＋n，0＝－1＋m＋n.解得m＝－2，n＝3.∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3.(2)∵y＝－12x＋b经过点B，∴－12×1＋b＝0.解得b＝12.∴y＝－12x＋12.设M(m，－12m＋12)，则N(m，－m2－2m＋3)，∴MN＝－m2－2m＋3－(－12m＋12)＝－m2－32m＋52＝－(m＋34)2＋4916.∴MN的最大值为4916.3.(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得16a＋4b－2＝0，a＋b－2＝0.解得a＝－12，b＝52.∴此抛物线的解析式为y＝－12x2＋52x－2.(2)设D点的横坐标为t(0t4)，则D点的纵坐标为－12t2＋52t－2.过D作y轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC的解析式为y＝12x－2.∴E点的坐标为(t，12t－2)．∴DE＝－12t2＋52t－2－(12t－2)＝－12t2＋2t.∴S△DCA＝12×(－12t2＋2t)×4＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4.∴当t＝2时，△DCA面积最大．∴D(2，1)．4.(1)令y＝0，得28(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4；令x＝0，得y＝－2.∴A(－2，0)、B(4，0)、C(0，－2)．(2)过点A(－2，0)作y轴的平行线l，则点B关于l的对称点B′(－8，0)，又M(1，－982)，连接B′M与l的交点即为使MN＋BN值最小的点．设直线B′M的解析式为y＝kx＋b，则0＝－8k＋b，－982＝k＋b，解得k＝－182.b＝－2.∴y＝－182x－2.∴当x＝－2时，n＝－342.5.(1)抛物线过点G(2，2)时，－1m(2＋2)(2－m)＝2，解得m＝4.6(2)∵m＝4，∴y＝－14(x＋2)(x－4)．令y＝0，－14(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4.则A(－2，0)，B(4，0)．∴抛物线对称轴为直线l：x＝－2＋42＝1.令x＝0，则y＝2，所以C(0，2)．∵B点与A点关于对称轴对称，∴连接BC，BC与直线l的交点便为所求点H.∵B(4，0)，C(0，2)，∴求得线段BC所在直线为y＝－12x＋2.当x＝1时，y＝32，∴H(1，32)．6.(1)由已知条件得A(－2，0)，C(0，3)，代入二次函数解析式，得c＝3，－2－2b＋c＝0.解得b＝12，c＝3.∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋12x＋3.(2)连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点．设直线AD的解析式为y＝kx＋t.由已知得－2k＋t＝0，2k＋t＝2.解得k＝12，t＝1.∴直线AD的解析式为y＝12x＋1.∵对称轴为直线x＝－b2a＝12，将x＝12代入y＝12x＋1，得y＝54.∴P(12，54)．7.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y＝45x2＋bx＋c，得20＋5b＋c＝0，c＝4，解得b＝－245，c＝4.故二次函数的表达式为y＝45x2－245x＋4.(2)延长EC至E′，使E′C＝EC，延长DA至D′，使D′A＝DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，GD＝GD′，EF＝E′F，(DG＋GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE，由E(5，2)，D(4，4)，得D′(－4，4)，E(5，－2)．由勾股定理，得DE＝22＋12＝5，D′E′＝（5＋4）2＋（4＋2）2＝313，(DG＋GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE＝313＋5.8.(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，∴1－b＋c＝0，9＋3b＋c＝0.解得b＝－2，c＝－3.∴y＝x2－2x－3.(2)∵点E(2，m)在抛物线上，∴m＝4－4－3＝－3.∴E(2，－3)∴BE＝（3－2）2＋（0＋3）2＝10.∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，H是AB中点，∴FH＝12BE＝102.9、.(1)∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=-1，∴二次函数的解析式为y=x2-3x.(2)假设存在点B，过点B作BD⊥x轴于点D.∵△AOB的面积等于6，∴21AO·BD=6.当y=0时，x(x-3)=0.解得x=0或3.∴AO=3.∴BD=4，即4=x2-3x.解得x=4或x=-1(舍去).又∵顶点坐标为(1.5，-2.25)，2.25＜4，∴x轴下方不存在B点.∴点B的坐标为(4，4).(3)∵点B的坐标为(4，4)，∴∠BOD=45°，BO=2244=42.7当∠POB=90°时，∠POD=45°.设P点横坐标为x，则纵坐标为x2-3x，即-x=x2-3x.解得x=2或x=0.∴在抛物线上仅存在一点P(2，-2).∴OP=2222=22.∴△POB的面积为：21PO·BO=21×22×42=8.