第三章-第5讲-两角和与差及二倍角的三角函数公式[配套课件]

第5讲两角和与差及二倍角的三角函数公式考纲要求考点分布考情风向标1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系2011年新课标第7题考查同角关系式及二倍角公式；2013年新课标Ⅰ第10题以解三角形为背景，考查倍角公式及余弦定理；2013年新课标Ⅱ第6题考查诱导公式、二倍角公式(降幂公式)；2014年新课标Ⅱ第14题考查两角和、差的三角函数；2016年新课标Ⅰ第14题考查三角函数求值；2017年新课标Ⅲ第4题考查二倍角公式，新课标Ⅰ第15题考查两角和与差的余弦公式本节复习时，应准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；重点解决三角函数式的化简、求值、求角问题三角函数两角和简写形式正弦sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβSα＋β余弦cos(α＋β)＝____________________Cα＋β正切Tα＋β1.两角和与差的三角函数tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβcosαcosβ－sinαsinβ三角函数两角差简写形式正弦sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβSα－β余弦cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβCα－β正切Tα－β(续表)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ三角函数二倍角简写形式正弦sin2α＝______________S2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC2α正切T2α2.二倍角的三角函数3.降次公式cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2.tan2α＝2tanα1－tan2α2sinαcosα4.辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ).其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，tanφ＝ba，角φ称为辅助角.1.下列各式的值为14的是()A.2cos2π12－1B.1－2sin275°C.2tan22.5°1－tan222.5°D.sin15°cos15°D2.(2017年山东)函数y＝3sin2x＋cos2x的最小正周期为()A.π2B.2π3C.πD.2πC解析：y＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，T＝2π2＝π.3.(2017年山东)已知cosx＝34，则cos2x＝()A.－14B.14C.－18D.18D解析：cos2x＝2cos2x－1＝18.4.(2016年四川)cos2π8－sin2π8＝_______.解析：由二倍角公式，得cos2π8－sin2π8＝cosπ4＝22.22考点1给角求值问题例1：(1)(2015年新课标Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A.－32B.32C.－12D.12答案：D解析：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.故选D.(2)(2015年四川)sin15°＋sin75°＝________.解析：方法一，sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝62.方法二，sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°cos30°＝62.方法三，sin15°＋sin75°＝6－24＋6＋24＝62.答案：62(3)计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos10°－60°2sin240°＝2cos50°2sin40°＝2.答案：2(4)计算：tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.解析：tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，可得3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，移项，可得tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝3.答案：3【规律方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已知角表示：①已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差；②已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”的关系.考点2给值求值问题例2：(1)(2016年新课标Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.解析：由题意sinθ＋π4＝35，得cosθ＋π4＝45.∴cosπ4－θ＝sinθ＋π4＝35，sinπ4－θ＝cosθ＋π4＝45.∴tanθ－π4＝－tanπ4－θ＝－sinπ4－θcosπ4－θ＝－4535＝－43.答案：－43(2)(2017年新课标Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A.－79B.－29C.29D.79答案：A解析：由sinα－cosα＝43两边平方，得(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝169，所以sin2α＝－79.故选A.(3)(2017年新课标Ⅰ)已知a∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________.解析：由tanα＝2，得sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝15.因为α∈0，π2，所以cosα＝55，sinα＝255.因为cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝55×22＋255×22＝31010.答案：31010A.1B.2C.3D.4(4)(2015年重庆)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝()解析：由已知，cosα－3π10sinα－π5＝cosαcos3π10＋sinαsin3π10sinαcosπ5－cosαsinπ5＝cos3π10＋tanαsin3π10tanαcosπ5－sinπ5＝cos3π10＋2tanπ5sin3π102tanπ5cosπ5－sinπ5答案：C＝cosπ5cos3π10＋2sinπ5sin3π10sinπ5cosπ5＝3sinπ5cosπ512sin2π5＝3sin2π5sin2π5＝3.故选C.(5)(2017年广东惠州三模)已知α∈0，π2，cosα＋π3＝－23，则cosα＝________.解析：因为α∈0，π2，所以α＋π3∈π3，5π6，所以sinα＋π3＝53.所以cosα＝cosα＋π3－π3＝cosα＋π3cosπ3＋sinα＋π3sinπ3＝－23×12＋53×32＝15－26.答案：15－26考点3给值求角问题例3：已知A，B均为钝角，且sinA＝55，sinB＝1010，求A＋B的值.解：∵A，B均为钝角，且sinA＝55，sinB＝1010，∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010.∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－255×－31010－55×1010＝22.∵π2Aπ，π2Bπ，∴πA＋B2π.∴A＋B＝7π4.【规律方法】已知三角函数值求角时，要先确定所求角的范围，再选择在该范围内具有单调性的某一三角函数求解，否则容易出现增根.如若α∈(0，π)，则选余弦函数；若α∈－π2，π2，则选正弦函数.【互动探究】α＋β的值，要先求sin(α＋β)或cos(α＋β)，你认为选_________更好.最后求得α＋β＝_________.1.已知α，β为锐角，且cosα＝110，cosβ＝15，为了求cos(α＋β)3π4难点突破⊙利用函数的思想探讨三角函数的最值问题例题：函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx的最大值是______.解析：令sinx＋cosx＝t，则－2≤t≤2.平方，得1＋2sinxcosx＝t2.所以2sinxcosx＝t2－1.则y＝t＋t2－1＝t＋122－54.函数图象的对称轴方程为t＝－12.所以当t＝2时，ymax＝2＋(2)2－1＝2＋1.答案：2＋1【互动探究】2.(2016年湖北武汉十六中模拟)已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值.解：(1)∵f(x)＝sin2x－sin2x－π6＝sin2x－1－cos2x－π32＝sin2x＋12cos2x－π3－12＝12－12cos2x＋12cos2xcosπ3＋sin2xsinπ3－12＝－12cos2x＋14cos2x＋34sin2x＝34sin2x－14cos2x＝12sin2x－π6.∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵x∈－π3，π4，则2x－π6∈－5π6，π3.∴12sin2x－π6∈－12，34.故f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值分别为34，－12.1.在处理三角函数问题时，尽量做到三个统一，即角的统一、函数名统一、次数统一，其中角的统一是第一位的.合一变换与降次都是经常使用的方法，合一变换的目的是把一个角的两个三角函数的和转化为一个角的一个三角函数.降次的目的，一方面是把一个角变为原来的两倍，另一方面是为了次数的统一.2.三角函数求值的类型及方法.(1)给角求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.(3)给值求角：实质上也转化为给值求值，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.3.巧用公式变形.和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sinα＝sinα2±cosα22,1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.