包络定理

1包络定理（envelopetheorem）包络定理是比较静态研究的有用工具。记最优化问题),(max)(axfax这里，a是一个参数（外生变量），x是一向量，我们称φ(a)为间接目标函数。该最大值问题是在a为某一固定值时寻找适当的x*，使得函数f(x,a)达到最大。显然，若a的数值发生变化时，x*和目标函数的最大值f(x*,a)也会随之而变化。判断a的数值变化时φ(a)=f[x*(a),a]变化的大小和方向，我们可以使用aad)(d由于先得到x*(a)非常麻烦，我们可以直接使用包络定理*),(d)(dxxaaxfaa2包络定理的证明记对应参数值a的最大值点为x(a)，假设它关于a可微，则有)(]),(d)(d),([d]),([dd)(d1axxaaxfaaxxaxfaaaxfaaniiiniaxxxaxfi,,2,10)(),(由于x(a)是上述最大化问题的解，所以一阶条件成立因此，包络定理得证。不难看出，最小化问题亦然。*),(d)(dxxaaxfaa3包络定理图示aaxfaa),(d)(d*f,a),(axf)(a1a4包络定理的一个推论对于一个具有一般性的最优化问题0),(..),(maxaxgtsaxfx),,2,1();,()(*mixaaxLaaiix是n维向量，a是m维参数。包络定理可以写为：含义：某参数对目标函数最大值（最大值函数）的影响，等于拉格朗日函数直接对该参数求偏导数，并在最优解处取值。5包络定理的一个推论（证明）我们构造拉格朗日函数),(),();,(axgaxfaxL0),();,(),,2,1(0);,(axgaxLnjxgxfxaxLjjj一阶条件为如果我们得到最优解)(*axx则最大值函数)),(()(aaxfa6包络定理的一个推论（证明）对于最大值函数)),(()(aaxfa两边关于ai求导，并在最优解处取值，可得ijijjijijjiafaxxgafaxxfaa)(对于约束条件0),(axg两边关于ai求导，可得0ijijjagaxxg代入上式)(*);,()(axxiiiiaaxLagafaa7包络定理的应用之一：消费者选择理论对于消费者选择问题mxpxptsxxux221121..),(max),,(),,(21222111mppxxmppxx我们容易得到马歇尔需求函数此时的效用函数值（间接效用函数）：)),,(),,,((),(),,(212211*1*121mppxmppxuxxumppv构造函数)(),();,,(221121xpxpmxxumpxL利用包络定理，可得mmpv),(mmppvpmppvmppxx/),,(/),,(),,(211212111罗伊恒等式（Roy’sidentity）8包络定理的应用之二：成本曲线问题对于短期成本最小化问题QKLftsQKrwL),(../)(min);,(*QrwLL我们容易得到最优的可变要素投入)(QLAC1K2KQC