一元二次方程及其解法

1/17第2课时一元二次方程及其解法一·基本概念理解1一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02acbxax，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。2、一元二次方程的解法（1）、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax是b的平方根，当0b时，bax，bax，当b0时，方程没有实数根。（2）、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有222)(2bxbbxx。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：2/17)04(2422acbaacbbx公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c（4）、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式（5）、韦达定理若1x，2x是一元二次方程的一般形式：)0(02acbxax的两个实数根，则abxx21，acxx21。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=ab，二根之积=ac也可以表示为abxx21,acxx21。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用3、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb423/17I当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III当△0时，一元二次方程没有实数根4、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，，那么abxx21，acxx21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。5、一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。4/17二．例题讲解：例1：解一元二次方程（1）42x（2）062xx（3）01322xx【例题解析】：（1）可以利用直接开方法或利用因式分解法或公式法；（2）可以利用配方法或公式法或因式分解法；（3）可以利用配方法或公式法或因式分解法。解：（1）a直接开方法：242xxb因式分解法：220)2)(2(04422xxxxxx或（2）a配方法：解：3225212521)25(425)21()21(6)21(2126062222222xxxxxxxxxxx或b公式法：使用该方法首先要将方程转化为02cbxax，再准确找出该一元二次方程中的cba,,的值是做对该题的重要前提和保证。由题可知：6,1,1cba所以3212)6(14)1()1(2xxx或5/17（3）方法一：（配方法）21141434143161)43()43(21)43(432212313201322222222xxxxxxxxxxxxx或方法二：（公式法）由题可知：1,3,2cba所以：21122124332xxx或方法三：（因式分解）2110)1)(12(xxxx或注：在求一元二次方程的根之前，首先要将方程转化成标准形式)0(02acbxax，再对它的的取值情况进行判定；最后再对求根的方法进行选取，如配方，公式，还是因式分解法，特别是配方法的知识基础是建立在完全平方公式：222)(2bababa之上的。6/17例2：用直接开方法解一元二次方程（1）0492x(2)4)1(2x(3)3)1(2x(4)9)1(162x解析：（1）由题可知：3232329449049222xxxxxx或（2）由题可知：1321214)1(2xxxxx或（3）由题可知：313131313)1(2xxxxx或（4）由题可知：4147431431169)1(9)1(1622xxxxxx或注：求一元二次不等式的根方法中，直接开方法是最基础的方法。【练一练】：用直接开平方法解下列一元二次方程。（1）0142x（2）2)3(2x（3）512x（4）162812x7/17例3：用配方法解一元二次方程（1）0822xx（2）01322xx（3）0132xx（4）01842xx解析：（1）由题可知：9)1(1811282082222222xxxxxxx423131xxxx或（2）由题可知：21141434143161)43()43(21)43(432212313201322222222xxxxxxxxxxxxx或（3）由题可知：22222)23(1)23(23213013xxxxxx2132321323413)23(2xxx21332133xx或（4）由题可知：212184018401842222xxxxxxxx26123)1(1211122222xxxx262262261xxx或注解：配方法的知识基础是建立在完全平方公式：222)(2bababa之上的。8/17【练一练】：用配方法解下列一元二次方程。1、.0662yy2、xx42323、9642xx4、0542xx5、01322xx6、07232xx7、01842xx8、041212xx9/17例4：用公式法解一元二次方程（1）0322xx（2）01322xx（3）132xx（4）1842xx解析（1）由题可知：3,2,1cba所以：1312)3(14)2()2(2xxx或（2）由题可知：1,3,2cba所以：21122124332xxx或（3）由题可知：1,3,2cba所以：21122124332xxx或（4）由题可知：1,3,2cba所以：21122124332xxx或注解：使用公式法求一元二次方程的根，要将方程转化为)0(02acbxxa的形式，再准确找出对应的cba,,的值。10/17【练一练】用公式解法解下列方程。1、0822xx2、22314yy3、yy321324、01522xx5、1842xx6、02322xx7、041212xx8、07232xx11/17例5：用因式分解法解一元二次方程（1）0822xx（2）01322xx（3）032xx（4）0342xx解析：多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．对于用因式分解法求一元二次方程根的问题，首先将方程转化为)0(02acbxxa或)0(02abxxa的形式，第一种形式)0(02acbxxa再考虑用因式分解中十字相乘法，第二种形式)0(02abxxa就只需提取公因数（式）即可。（1）由题可知：0822xxx44xx22xxxx24)2(所以0)2)(4(xx24xx或以后做得非常熟练之后，其解答过程可直接写成：0)2)(4(xx从而方程的根就为24xx或（2）由题可知12/1701322xxx2112xx11xxxx3112所以0)1)(12(xx121xx或（3）由题可知：该题符合)0(02abxxa的形式，则只需提取公因式即可，故0)3((xx所以方程的根为30xx或（4）由题可知：首先将方程转化为0342xx0342xxx4334xx11xxxx)3(14所以0)1)(34(xx143xx或注解：要使用因式分解法求一元二次方程的根，首先将方程转化为)0(02acbxxa或)0(02abxxa的形式，第一种形式)0(02acbxxa再考虑用因式分解中十字相乘法，第二种形式)0(02abxxa就只需提取公因数（式）即可。13/17【练一练】用因式分解法解下列一元二次方程。1、xx222、0862xx3、06732yy4、0122xx5、031652xx6、04212xx7、0)32()1(22xx8、22)2(25)3(4xx9、0)21()21(2xx10、0)23()32(2xx14/17第1练一元二次方程及其解法用适当的方法解下列一元二次方程。1、513xxxx2、xx53223、2260xy4、01072xx5、623xx6、03342xxx7、02152x8、0432yy9、03072xx10、412yy11、1314xxx12、025122x15/1713、22244abaxx14、baxabx232215、022aaxx16、3631352xx17、213yy18、)0(0)(2abxbaax19、03)19(32axax20、012xx21、02932xx22、02222a