圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)

.xy1A2ATGPMON圆锥曲线1．设椭圆222:12xyMa2a的右焦点为1F，直线2:22aaxl与x轴交于点A，若112OFFA（其中O为坐标原点）．（1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆12:22yxN的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求PFPE的最大值．2．已知椭圆E:222210xyabab的一个焦点为13,0F,而且过点13,2H.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为12,AA,P是椭圆上异于12,AA的任一点,直线12,PAPA分别交x轴于点,NM,若直线OT与过点,MN的圆G相切,切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.3、已知圆O:222yx交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F,若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆O相切；(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.4设)0(1),(),,(22222211babxxyyxByxA是椭圆上的两点，满足0),(),(2211aybxaybx，椭圆的离心率,23e短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.xyOPFQAB5、直线l：y=mx+1，双曲线C：3x2y2=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A,B两点，且以AB为直径的圆过原点6已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的两个焦点为F1（-2，0），F2（2，0），点P(3,7)在曲线C上。（1）求双曲线C的坐标；（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同两点E，F，若△OEF的面积为22，求直线l的方程。7.已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点(2,1)A，离心率为22,过点(3,0)B的直线l与椭圆C交于不同的两点,MN．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM和直线AN的斜率分别为AMk和ANk，求证:AMANkk为定值．8．已知椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为22，直线:22lyx与以原点为圆心、以椭圆1C的短半轴长为半径的圆相切。（Ⅰ）求椭圆1C的方程；（Ⅱ）设椭圆1C的左焦点为F1，右焦点为F2，直线1l过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l垂直1l于点P，线段PF2的垂直平分线交2l于点M，求点M的轨迹C2的方程；（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．9设F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知||8||2||MNPMMF，且．(1)求椭圆C的标准方程；（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN；(2)求三角形ABF面积的最大值．10如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点(2,1)M，平行于OM的直线l在y轴上的截距为(0)mm，l交椭圆于AB、两个不同点（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MAMB、与x轴始终围成一个等腰三角形。11已知椭圆C：)0(12222babyax，左、右两个焦点分别为1F、2F，上顶点),0(bA，21FAF为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，P是直线AF1上的一个动点，求||||2POPF的最小值，并求出此时点P的坐标．12如图，设P是圆222xy上的动点，PD⊥x轴，垂足为D，M为线段PD上一点，且|PD|=2|MD|，点A、F1的坐标分别为（0，2），（－1，0）。（1）求点M的轨迹方程；（2）求|MA|+|MF1|的最大值，并求此时点M的坐标。13.如图，在平面直角坐标系xOy中。椭圆22:12xCy的右焦点为F，右准线为l。（1）求到点F和直线l的距离相等的点G的轨迹方程。（2）过点F作直线交椭圆C于点,AB，又直线OA交l于点T,若2OTOA，求线段AB的长；（3）已知点M的坐标为000,,0xyx，直线OM交直线0012xxyy于点N，且和椭圆C的一个交点为点P，是否存在实数，使得2?OPOMON，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由。yxlAFBOT第18题图圆锥曲线答案1解：（1）由题设知，22(0)2aAa，，2120Fa，，………………………………1分由112OFAF0，得22222222aaaa，……………3分解得62a．所以椭圆M的方程为126:22yxM．……………………………4分（2）方法1：设圆12:22yxN的圆心为N，则NPNFNPNEPFPE…6分NFNPNFNP…7分2221NPNFNP．……8分从而求PFPE的最大值转化为求2NP的最大值．……………………………………9分因为P是椭圆M上的任意一点，设00Pxy，，………………………………………10分所以1262020yx，即202036yx．………………………………………………11分因为点2,0N，所以121222020202yyxNP．…………………12分因为022y，，所以当10y时，2NP取得最大值12．…………………13分所以PFPE的最大值为11．…………………………………………………………14分2由（Ⅰ）可知120,1,0,1AA,设00,Pxy,直线1PA:0011yyxx,令0y,得001Nxxy;直线2PA:0011yyxx,令0y,得001Mxxy;则20002000||||111xxxOMONyyy,而220014xy,即220041xy,4||||ONOM取线段MN的中点Q，连接GOGMGQ,,,||GMr)()(2222222QGMQQGOQGMOGOT|)|||)(|(|22MQOQMQOQMQOQ4||||ONOM.2||OT即线段OT的长为定值2．……………l4分37.(14分)解:(Ⅰ)因为22,2ae,所以c=1,则b=1,所以椭圆C的标准方程为2212xy………5分(Ⅱ)∵P(1,1),∴12PFk,∴2OQk,∴直线OQ的方程为y=-2x,∴点Q(-2,4)…7分∴1PQk,又1OPk,∴1kkPQOP,即OP⊥PQ,故直线PQ与圆O相切……10分(Ⅲ)当点P在圆O上运动时,直线PQ与圆O保持相切………11分证明:设00(,)Pxy(02x),则22002yx,所以001PFykx,001OQxky,所以直线OQ的方程为001xyxy所以点Q(-2,0022xy)………12分所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQxyyyxxxxkxxyxyy,又00OPykx…13分所以1kkPQOP,即OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆O相切.………14分49解：（1）3.223,1.2222eaabaacebb椭圆的方程为1422xy…….（2分）（2）设AB的方程为3kxy由41,4320132)4(1432212212222kxxkkxxkxxkxykxy……（4分）由已知43)(43)41()3)(3(410212122121221221xxkxxkkxkxxxayybxxkkkkkk解得,4343243)41(442222……………………（7分）（3）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB=1……………………（8分）当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b42042)4(1422122222kkbxxbkbxxkxybkxy得到442221kbxx:04))((0421212121代入整理得bkxbkxxxyyxx4222kb…（11分）41644|||4)(||21||||212222122121kbkbxxxxbxxbS1||242bk所以三角形的面积为定值………………（12分）6．解：（1）依题意2,c∴22222971cabab且，解得：222,2ab，所以双曲线方程为22122xy………………4分（2）依题意可知，直线l的斜率存在设直线l的方程为y=kx+2，E（11,xy），F（22,xy），由y=kx+2及22122xy得22(1)460kxkx，∵有两个交点，∴210k，又△=221624(1)0kk，∴23k，∴33k，又1212224611kxxxxkk且，∵2222121222424||1()41()11kEFkxxxxkkk………8分∵O点到直线的距离为221dk，又1||222SEFd，∴222424()2211kkk，∴k=2,∴直线l的方程为22yx或22yx………………12分7．解：（1）由题意得22222411,,2.2ababcca解得6a，3b．故椭圆C的方程为22163xy．……………………………………5分（2）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为(3)ykx，由22(3),1,63ykxxy得2222(12)121860kxkxk.…………………7分因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以42221444(12)(186)24(1)0kkkk，解得11k.设M，N的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy，则21221212kxxk，212218612kxxk，11(3)ykx，22(3)ykx．…9分∴AMANkk12121122yyxx………………………………………………10分122112(31)(2)(31)(2)(2)(2)kxkxkxkxxx121212122(51)()1242()4kxxkxxkxxxx2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)kkkkkkkkk2244222kk．所以AMANkk为定值2．………………………………………………………14分86．解：（Ⅰ）2222222221,,222cabeeabaa22202:byxyxl与圆直线相切2222,2,4,8,2bbba∴椭圆C1的方程是221.84xy…………3分（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线1:2lx的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，∴动点M的轨迹C是以1l为准线，F2为焦点的抛物线∴点M的轨迹C2的方程为28yx…………6分（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，),(),,(2211yxCyxA，则直线AC的方程为(2).ykx联立2222221(2)(12)8880.84