来自官方线性代数配套ppt上知识点总结

行列式行列式行列式行列式１１１１全排列全排列全排列全排列把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）nn２２２２逆序数逆序数逆序数逆序数在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序．()nstiiiii⋯⋯⋯21stii一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．３３３３计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法1：分别计算出排在前面比它大的数码之和，即分别算出这个元素的逆序nn,1,,2,1−⋯nn,1,,2,1−⋯n数，这个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数n方法2：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数４４４４对对对对换换换换定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换定理：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论：奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．５５５５nnnn阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义()npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2121222211121121211∑−==的所有排列取和表示对为这个排列的逆序数的一个排列为自然数其中ntnppppppnn,,2,1;;,,2,12121…………∑.,21212121)1(的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式ppptDDnnnpppppptaaann………∑−=６６６６nnnn阶行列式的性质阶行列式的性质阶行列式的性质阶行列式的性质.,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行则此行列式等于零完全相同列如果行列式有两行行列式变号列互换行列式的两行即式相等行列式与它的转置行列kk=.,)(,)()8.,)()7.,)()6.)()5行列式的值不变对应的元素上去行然后加到另一列的各元素乘以同一数行把行列式的某一列列式之和则此行列式等于两个行的元素都是两数之和行若行列式的某一列则此行列式为零元素成比例列行列式中如果有两行面以提到行列式符号的外的所有元素的公因子可列行列式中某一行７７７７行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开余子式与代数余子式.,1)1(的代数余子式叫做元素记；的余子式，记作阶行列式叫做元素留下来的列划去后，行和第所在的第阶行列式中，把元素在aAMAMaaijijijjiijijijijnjin−+=−８８８８克拉默法则克拉默法则克拉默法则克拉默法则.,,,2,1.,,2,1,,0.,,122112222212111212111所得到的行列式，列换成常数项中第）是把系数行列式（其中那么它有唯一解的系数行列式如果线性方程组２bbbxbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnnjDnjDnjDDD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯===≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++克拉默法则的理论价值唯一那么它一定有解，且解的系数行列式如果线性方程组0.,,22112222212111212111≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯定理：零则它的系数行列式必为解或有两个不同的解，如果上述线性方程组无定理：.0.0,0,0221122221211212111那么它没有非零解的系数行列式如果齐次线性方程组≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯定理：数行列式必为零组有非零解，则它的系如果上述齐次线性方程矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算１１１１矩阵的定义矩阵的定义矩阵的定义矩阵的定义矩阵简称列矩阵行叫做列的数表行排成个数由nmnmAnmnjminmaaaaaaaaaamnmmnnij×⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛===×,)1(),2,1;,2,1(212222111211⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯复矩阵元素是复数的矩阵叫做实矩阵元素是实数的矩阵叫做列元素行第的第叫做矩阵的元素个数叫做矩阵其中..,jiAAnmaij×.),()()1(AAnmAAnmijijnmaa×××==也记作矩阵或式可简记为２２２２方阵方阵方阵方阵列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵行矩阵行矩阵行矩阵行矩阵阶方阵称为时当式对nAnm,,)1(=.)(;2121叫做行矩阵只有一行的矩阵叫做列矩阵只有一列的矩阵aaaaaanmAA⋯⋮=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=３３３３同型矩阵和相等矩阵同型矩阵和相等矩阵同型矩阵和相等矩阵同型矩阵和相等矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵BABAnjmibabBaAijijijij======记作相等与矩阵那么就称矩阵即等并且它们的对应元素相是同型矩阵与如果,).,,2,1;,,2,1(,,)()(⋯⋯４４４４零矩阵零矩阵零矩阵零矩阵单位矩阵单位矩阵单位矩阵单位矩阵O记作零矩阵元素都是零的矩阵称为,Enn简记作阶单位阵叫做阶方阵其余元素都是零的主对角线上的元素都是,,,1５５５５矩阵相加矩阵相加矩阵相加矩阵相加()的和与称为矩阵加法定义为为两个同型矩阵设BABABAbBaAnmijijijnmijnmba++=+==×××,,)(,)(交换律：ABBA+=+结合律：)()(CBACBA++=++)(,)(,),(),(BABAOAAAAaAaAijij−+=−=−+−−=−=并规定从而有的负矩阵称为矩阵记设６６６６数乘矩阵数乘矩阵数乘矩阵数乘矩阵)(,aAAAAAijλλλλλλ==规定为或的乘积记作与矩阵数运算规律)()(AAµλλµ=AAAµλµλ+=+)(BABAλλλ+=+)(７７７７矩阵相乘矩阵相乘矩阵相乘矩阵相乘ABCnjmibabababaccCnmBAbBaAskkjiksjisjijiijijnmijnsijsm====+++==×==∑=×××记作，其中矩阵的乘积是一个与规定设),,2,1;,,2,1(,)(,)(,)(12211⋯⋯⋯运算规律)()(BCACAB=)(),()()(为数其中λλλλBABAAB==CABAACBACABCBA+=++=+)(,)(EAAAEnnmnmnmm×××==８８８８方阵的运算方阵的运算方阵的运算方阵的运算n阶方阵的幂是正整数其中定义阶方阵是设kAAAAAAAAnAkk,,,,,111121===+⋯为正整数其中lkAAAAAklkllklk,,)(,==+BAABkkk≠)(一般地方阵的行列式AAAAndet,,或记作的行列式叫做方阵的元素所构成的行列式阶方阵由运算规律BAABAAnBAn==;,,,λλλ则阶方阵为为数设９９９９一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵转置矩阵转置矩阵转置矩阵转置矩阵AAAT记作的转置矩阵叫做到一个新矩阵的行换成同序数的列得把矩阵,,ABABAABABAAATTTTTTTTTT==+=+=)(;)(;)(;)(λλ对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵为对称矩阵则称如果阶方阵为设AAAnAT,,=反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵为反对称矩阵则称如果阶方阵为设AAAnAT,,−=幂等矩阵幂等矩阵幂等矩阵幂等矩阵为幂等矩阵则称如果阶方阵为设AAAnA,,2=对合矩阵对合矩阵对合矩阵对合矩阵为对合矩阵则称如果阶方阵为设AEAnA,,2=正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵为正交矩阵则称如果阶方阵为设AEAAAAnATT,,==对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵为对角矩阵则称其余元素全为零如果除了主对角线以外阶方阵为设AnA,,,上三角矩阵上三角矩阵上三角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵下三角矩阵下三角矩阵下三角矩阵下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵的伴随矩阵叫做方阵所构成的方阵的各元素的代数余子式行列式AAAAAAAAAAAAAnnnnnnij⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212221212111=∗EAAAAA==∗∗:伴随矩阵具有重要性质１０１０１０１０逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵定义：.)(,,的逆矩阵称为且矩阵、满秩的或非奇异的、非退化的是可逆的则称矩阵，使如果存在矩阵阶方阵为设ABAEBAABBnA==AAAA1,,−的逆矩阵记作的逆矩阵是唯一的则有逆矩阵若相关定理及性质0≠AA可逆的充分必要条件是方阵AAAA∗−=1,则可逆若矩阵)()();0(1)(;)(111111AAAAAATT−−−−=≠⋅==−−λλλABABABBA111)(,,−−−=且也可逆那么都可逆与若同阶方阵逆矩阵的运算法则()AA=−−11())0(111≠=−−kAkkA推广()111−−−=ABAB()11121111321........AAAAAAAASSS−−−−=()()11−−=TTAA11−−=AA()()nnAA11−−=,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−1110000BABA⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−0000111ABBA１１１１１１１１分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组１１１１初等变换的定义初等变换的定义初等变换的定义初等变换的定义换法变换：)(),(ccrrjiji↔↔记作列对调矩阵的两行倍法变换：)(,)(0kkkcrii××≠记作中的所有元素列乘某一行以数消法变换：)(,)()(cjkcirjkrik++记作对应的元素上去列倍加到另一行所有元素的列把某一行以上三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换２２２２矩阵的等价矩阵的等价矩阵的等价矩阵的等价BABABA~,,记作等价与就称矩阵矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵反身性：;~AA对称性：;,~~ABBA则若传递性：.,,~~~CACBBA则若３３３３初等矩阵初等矩阵初等矩阵初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵E三种初等变换对应着三种初等矩阵（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵),(jiE（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵k))((kiE（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵k))((kijE４４４４行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵对矩阵进行初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．５５５５行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．６６６６矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．.,,,),(,零行的行数就是行阶梯形矩阵中非其中三个数完全确定此标准形由化为标准形行变换和列变换总可以经过初等变换矩阵任何一个rrnmrnmOOOEFnm⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=×所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵F７７７７矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩定义：.,,,,2阶子式的称为矩阵阶行列式到的中所处的位置次序而得不改变它们在个元素位于这些行列交叉处的列行和任取中矩阵在kAkAkkkAnm×定