第十五章-电路方程的矩阵形式-再精简

第十四章电路方程的矩阵形式电路的图割集15-1关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15-2矩阵A、Bf、Qf之间的关系*15-3回路电流方程的矩阵形式15-4结点电压方程的矩阵形式15-5列表法*15-7割集电压方程的矩阵形式*15-6本章内容15-1复习电路的图抛开元件性质一个元件作为一条支路85bn元件的串联及并联组合作为一条支路64bn有向图R1R2R3R4R5i－＋us12345678123456电路理论教学研究组CircuitTheoryTeachingandResearchGroup20:164独立KCL方程0641iii节点①节点③节点②0652iii0321iii654321④③②①矩阵表示KCL方程：123456100-10-1-1-110000010011iiiiii关联矩阵A(n-1)*b①②③123456即KCL矩阵形式:Aib=0同理可推导:ATun=ub支路电压可用节点电压表示电路理论教学研究组CircuitTheoryTeachingandResearchGroup20:1650431uuu回路1：回路3：回路2：0654uuu0532uuu对网孔列KVL方程：654321④③②①123矩阵表示KVL方程：1234561011000110-10000011-1uuuuuu回路矩阵Bl*b支路电压和电流关系方程的矩阵形式、节点电压方程的矩阵形式、回路电流方程的矩阵形式，如何列写？1：2：3：123456即KVL矩阵表示:Bub=020:165同理可推导:BTil=ib支路电流可用网孔电流表示15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，有三种矩阵形式：1.图的矩阵表示结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵1.关联矩阵A一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。Aa=nb支路b结点n1）关联矩阵Aa建立矩阵Aa的每一个元素定义为ajkajk=1支路k与结点j关联，方向背离结点j。ajk=-1支路k与结点j关联，方向指向结点j。ajk=0支路k与结点j无关。①②背离结点①，指向结点②例15-21２３６５４①②④③特点①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。Aa=1234123456支结写图示电路的图的关联矩阵Aa。【解】-1-1100000-1-1011001100100-1-1特点A的某些列只具有一个+1或一个-1，这样的列对应于与划去结点相关联的一条支路。被画去的行对应的结点可以当作参考结点。Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1A=(n-1)b支路b结点n-12）降阶关联矩阵A给定A可以画出对应的有向图。2.回路矩阵B独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。注意每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。矩阵B的每一个元素定义为：Bij=1支路j在回路i中，且方向与回路绕向一致。-1支路j在回路i中，且方向与回路绕向相反。0支路j不在回路i中。B=lb支路b独立回路l1）回路矩阵B的建立例15-31２３６５４①②④③123给定B可以画出对应的有向图。注意写图示电路的图的回路矩阵B。【解】123B=123456支回011001000-11-11-100-10选取的独立回路是对应一个树的单连枝回路而列写的回路矩阵既是基本回路矩阵Bf。2）基本回路矩阵Bf。②支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。①回路电流方向为连支电流方向。上例中重新给支路编号，并选4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。142６５3①②④③231BtBl=[1Bt]支123B=123456回100-1-100101010010-11建立基本回路矩阵Bf规定如下。单位子矩阵①用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程设b条支路电流列向量为ib=[i1i2…ib]T3.KCL和KVL方程矩阵形式设b条支路电压列向量为ub=[u1u2…ub]T设独立的n个节点电压列向量为un=[un1un2…unn]T设独立的l个回路电流列向量为il=[il1il2…ill]T②用关联矩阵A表示矩阵形式的KVL方程③用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程④用回路矩阵B表示矩阵形式的KCL方程Aib=0ATun=ubBub=0BTil=ib15-3支路方程的矩阵形式(VAR)1.基本复合支路规定标准支路kUs.Zk(Yk)+-kU.kI.kIs.kIe.+-反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式即伏安关系VAR，是网络矩阵分析法的基础。复合支路特点①支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反。②支路电压与支路电流的方向关联。③支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。kZ即j1jkkkRLC复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。2.支路方程的矩阵形式情况1:电路中不含受控源，电感之间无耦合如有b条支路，则有s.kUZk(Yk)+-.kU.kIkIs.e.kI+-第k条支路的方程写成流控型表达式。当复合支路中不含独立电压源、独立电流源时，其对应值值为零。keksksk()UZIIU11s1s1()UZIIU22s2s2()UZIIUbbsbsb()UZIIU整个电路的支路电压、电流关系的矩阵表示即支路方程的矩阵形式（流控型，支路方程矩阵形式）：11s11s12ssbb000000bbbZUIIUZUIIUZ1111122bb000000000000ssbsbsbZZIIUZZIIUZZ简记为：bbbbssUZIZIUT•b12bIIII支路电流相量列向量（列矩阵）T•b12bUUUU支路电压相量列向量（列矩阵）Tss1s2sbUUUU电压源的电压相量列向量（列矩阵）Tss1sbs2IIII电流源的电流相量列向量（列矩阵）bbbbssUZIZIUbbbbssUZIZIU1212bb0000diag00bZZZZZZZ称支路阻抗矩阵。当仅由二端元件组成时，是bb对角阵s.kUZk(Yk)+-.kU.kIkIs.e.kI+-第k条支路的方程也可以写成压控型表达式第k条支路的方程写成流控型表达式ss()kkkkkYUUII如有b条支路，则有111s1s1()YIUUI22s22s2()YUUIIbbsbbsb()YUUIIs.kUZk(Yk)+-.kU.kIkIs.e.kI+-第k条支路的方程写成了压控型表达式。11s11s12sbsb000000bbbYIUUIYIUUIYbbbbssIYUYUI整个电路的支路电压、电流关系的矩阵表示即支路方程的矩阵形式（压控型,支路方程矩阵形式）：bb阶对角阵简记为：记[Yb]=diag[Y1Y2…Yb]称支路导纳矩阵，当仅由二端元件组成时，是对角阵且[Yb]=[Zb]-1例15-7写出图示电路流控型支路方程的矩阵形式（支路电压、电流关系矩阵）bbbbssUZIZIUbbss=ZIIU①④j2Ω－＋5A1Aj3Ω②③5Ω1Ω-j4Ω6Ω6V-+3V电感无耦合，不含受控源情况不含受控源和耦合电感时，支路阻抗矩阵是对角阵【解】①②③④146235000000j2000000j3000000-j4000000500000061234561UUUUUU12345110030056IIIIII①④j2Ω－＋5A1Aj3Ω②③5Ω1Ω-j4Ω6Ω6V-+3VbUbZbsIIsU含有受控源的复合支路一般形式2）电路中含有受控源情况dkIs.kUZk(Yk)+-.kU.kIs.kIe.kI+-+-dkU①当受控源的控制量均为零时，即为基本的复合支路；②受控源的方向与支路方向相同；③不论有无受控源，矩阵支路方程在形式上是相同的，只是支路阻抗矩阵Zb(或支路导纳矩阵Yb）的内容不同而已；④当电路含有受控源时，Zb和Yb不再是对称阵，但Yb=Zb-1仍成立；例15-8写出图示电路的相量模型下的支路电压源列向量、支路电流源列向量、支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵。sUsIbZbY+R1R51/jCjL2R6s1I-4UjL35sU4U+-+-必须掌握这个例题的路线和方法法【解】1）标出支路电流方向，画电路的有向图，1①23465②③④熟练时可以省略画出有向图，而直接在原电路中标出支路方向+R1R51/jCjL2R6s1I-4UjL35sU4U+-+-支路电压与支路电流方向一致（关联参考方向），所以仅标出支路电流方向即可。+2）将独立电压源短路，独立电流源开路。如图所示5sU+-+R1R51/jCjL2R6-4UjL34U+-s1I+为了求Zb，要列写流控型的支路方程，所以将受控源的控制量用支路电流表示3）列写流控型或压控型支路方程(除源后的）+R1R51/jCjL2R6-4UjL34U+-111URI222jULI333jULI441jUIC555URI6664664jURIURIIC1①23465②③④0000000000000123b50000j00j00001j000RLLZCR600j0CR111URI222jULI333jULI441jUIC555URI6664664jURIURIIC6）由除源后的支路电流方程写出支路阻抗矩阵Zb观察Zb矩阵可知：可简化仅对除源后的受控源支路列写支路方程，其余支路的阻抗或导纳位于对角线上，即可写出支路阻抗矩阵或支路导纳矩阵。7）写出支路导纳矩阵Yb，由受控源支路方程可得6664URIU666641-IRURU仅列写除源后的受控源支路压控型支路方程，即可写出支路导纳矩阵含受控源支路压控型支路方向2110113b000000j00000j000000j0000RLLYC115660000000RRR5sU+-+R1R51/jCjL2R6-4UjL34U+-s1IT50