2-3河南科技大学线性代数

§5矩阵的初等变换与初等矩阵一、初等变换的概念二、矩阵之间的等价关系三、初等矩阵四、求逆矩阵的初等行变换法一、初等变换交换第i行与第j行记为rirj。15-1-11-2131-93738-111-2131-937r2r4———15-1-138-11定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换。(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以非零数k乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。例如下页-113-1一、初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换。(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以非零数k乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。交换第i列与第j列记为cicj。15-1-11-2131-93738-11c1c3———5-2-98-13711113例如下页一、初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换。(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以非零数k乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。用非零数k乘以第i行记为kri。15-1-11-2131-93738-114r2———44-8121-15-113-973-181例如下页一、初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换。(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以非零数k乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。用非零数k乘以第i列记为kci。15-1-11-2131-93738-114c3———-4412-415-11-231-97381例如下页一、初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换。(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以非零数k乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。第i行的k倍加到第j行记为rj+kri。15-1-11-2131-93738-11r3-3r1———15-1-11-2131-9370-724例如下页一、初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换。(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以非零数k乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。第i列的k倍加到第j列记为cj+kci。15-1-11-2131-93738-11c3+c1———024215-11-231-97381例如下页AB有限次初等行变换有限次初等列变换二、矩阵之间的等价关系称矩阵A与矩阵B等价，记作~AB矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．~AA~AB~,~ABBC~BA~AC例2.15用矩阵的初等变换将矩阵化为简单形式的等价矩阵。492101132412649514462B----解492101132412649514462B----12rr132414921012649514462----21314142rrrrrr---13241036630001301221-----213r-13241012210001301221---42rr-113241012210001300000B--113241012210001300000B--123rr-10422012210001300000---2B对使用初等列变换继续化简1B将矩阵继续用初等行变换，可化为如下形式132322210404012050001300000rrrrB+---210404012050001300000B--315144cccc--10000012050001300000--32525434253cccccccc++-310000010000010000000B由矩阵等价的性质，123BBBB从形式上看，矩阵123,,,BBBB逐个更为简单。1B称形如的矩阵为行阶梯形矩阵，所谓行阶梯形矩阵指满足下列两个条件的矩阵：(1)非零行在零行的上方;(2)从第一行起,每行第一个非零元前面零元素的个数逐行增加。如下面两个都是行阶梯形矩阵000,000000000000其特点：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，且每个台阶只能跳过一行，列不管，台阶后面的第一个元素为非零。称形如2B的矩阵为简化行阶梯形矩阵，所谓简化行阶梯形矩阵是行阶梯形中非零行的第一个非零元为1，且这些1所在列的其他元素均为0。称形如3B的矩阵为最简形式，或称矩阵的标准形。其特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0。注①一个矩阵的行阶梯形是不唯一的。②一个矩阵的简化行阶梯形和标准形是唯一的。③行阶梯形、简化行阶梯形是一个矩阵只经过初等行变换得到的。任何矩阵简化行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.(1)对调单位阵的两行（列）；(2)以非零常数k乘单位阵的某一行（列）；(3)以k乘单位阵的某一行（列）加到另一行（列）．三、初等矩阵0000000000000000000011111000000000000000000001111150000000000000000011110100E50000000000000000011110100E35rr001000000135cc0010000001(1)对调单位阵的第i,j行（列），记作E5(3,5)记作Em(i,j)．000000000000000001111000k000000000000000001111000k50000000000000000011110100E50000000000000000011110100E3rk3ck00001(2)以常数k≠0乘单位阵第i行（列），记作E5(3(k))记作Em(i(k))．000000000000000001111100k000000000000000000011111k50000000000000000011110100E50000000000000000011110100E35rrk+35cck+00001(3)以k乘单位阵第j行加到第i行,记作E5(35(k))记作Em(ij(k))．以k乘单位阵第i列加到第j列．53cck+000000000000000000011111k?两种理解！11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa3100(2,3)001010E334(2,3)EA313233321222111213142443aaaaaaaaaaaa211121122232313233134344100001010aaaaaaaaaaaa11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa410000010(2,3)01000001E344(2,3)AE1114212431132331222323341000001001000001aaaaaaaaaaaa111421243113231222333423aaaaaaaaaaaa结论(,)mmnEijA把矩阵A的第i行与第j行对调，即.ijrr(,)nnmAEij把矩阵A的第i列与第j列对调，即.ijcc(())mmnEikA以非零常数k乘矩阵A的第i行，即.irk(())nnmAEik以非零常数k乘矩阵A的第i列，即.ick(())mnmEijkA把矩阵A第j行的k倍加到第i行，即.ijrkr+(())nnmAEijk把矩阵A第i列的k倍加到第j列，即.jickc+性质1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.口诀：左行右列.初等变换初等变换的逆变换初等矩阵?0000000000000000011111000000000000000000000001111150000000000000000011110100E35rr001000000135rr55(3,5)EE555(3,5)(3,5)EEE55(3,5)(3,5)EE5E因为“对于n阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以．155(3,5)(3,5)EE-一般地，．1(,)(,)EijEij-0000000000000000011111000000000000000000001111000k50000000000000000011110100E3rk3rk因为“对于n阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，55(3())EkE555(3())13EkkEE5513(3())EEkk5E所以．1551(3())3EkEk-一般地，．11(())EikEik-?55(35())EEk555(35())(35())EEEkk-55(35())(35())EkEk-5E因为“对于n阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以．155(35())(35())EkEk--一般地，．1(())(())EijkEijk--0000000000000000011111000000000000000000000011111k50000000000000000011110100E53cck+53()cck+-?初等变换初等变换的逆变换初等矩阵初等矩阵的逆矩阵1(,)(,);EijEij-11(());EikEik-1(())(()).EijkEijk--初等矩阵的逆矩阵是：?①初等矩阵都可逆②初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵定理2.2设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.由定理2.2知，用初等变换化矩阵mnA为标准形的过程，相当于矩阵mnA依次左乘和右乘有限个初等矩阵后等于标准形。1212,,,,,,mnlsAmPPPnQQQ设左乘的有限个阶初等矩阵依次记为，右乘的有限个阶初等矩阵依次记为，则2112