8计算材料物理-第三章

计算材料物理第三章蒙特卡洛方法1蒙特卡洛(MonteCarlo)摩纳哥面积约为2平方公里，是世界上第二小的国家蒙特卡洛(MonteCarlo)蒙特卡洛与拉斯维加斯、澳门并称世界三大赌城蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一类利用重复随机抽样来计算结果的算法；1930年代EnricoFermi最早提出类似思想；1940年代StanislawUlam与JohnvonNeumann提出随机抽样方法来处理核武器研究(曼哈顿工程,ManhattanProject)中的复杂数值积分问题；JohnvonNeumann给该方法取名为MonteCarlo方法，ThenameisareferencetotheMonteCarloCasinoinMonacowhereUlam'sunclewouldborrowmoneytogamble.随着计算机技术的发展，MonteCarlo方法在科学、工程、金融、通讯、人工智能等领域得到广泛应用。随机事件和概率事件：必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件；虽然一次随机试验中某事件的发生具有偶然性，但大量重复随机试验却呈现规律性----随机事件的统计规律性；概率(probability)则是衡量随机事件发生的可能性的量度概率的统计定义：在一定条件下重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p；对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1；随机变量随机变量(randomvariable)是表示随机现象各种结果的变量。比如掷硬币时，用ξ=1表示硬币正面朝上，用ξ=0表示硬币反面朝上；又如掷骰子，可以分别用ξ=1-6表示1-6点朝上。对随机试验的每一个可能的结果,有唯一一个实数与之对应；这种对应关系实际上定义了样本空间W上的函数；Ww1w2w3ξ一维随机变量随机变量引入随机变量，就是可以设想所有的实验都在实数轴上进行，也就是设想样本空间W就只是实数轴；比如掷硬币时，ξ是描述掷硬币试验的随机变量；ξ=1表示硬币正面朝上，ξ=0表示硬币反面朝上；掷硬币正面朝上概率可以用P(ξ=1)来表示；掷硬币反面朝上概率可以用P(ξ=0)来表示；一般情况下P(ξ=1)=0.5，P(ξ=0)=0.5；推广一下，我们可以说P(ξ0)=0;P(ξ1)=0;P(0ξ1)=0P(ξ0.5)=?P(ξ2)=?P{ξ≤0}=?P{ξ≤0.5}=?P{ξ≤1}=?几何上,CDF表示随机变量ξ落在实数x左边的概率随机变量和分布函数设有随机变量ξ，x是实数，函数F(x)=P{ξ≤x}称为随机变量ξ的分布函数，也称为累积分布函数(cumulativedistributionfunction,CDF);在投掷硬币实验中，F(0)=P{ξ≤0}=0.5;F(0.5)=P{ξ≤0.5}=0.5;F(1)=P{ξ≤1}=1对于任意实数x1,x2(x1x2)，有P{x1ξ≤x2}=P{ξ≤x2}-P{ξ≤x1}=F(x2)-F(x1)；因此，若已知ξ的分布函数，就可以知道ξ落在任一区间(x1,x2]上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性；ξx离散随机变量随机变量可分为离散随机变量和连续随机变量；如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列无限多个,则称这种随机变量为离散型随机变量；o123456789P{ξ=k}k概率分布函数连续型随机变量ξ设ξ在区间[x+δx]内取值的几率为P(xξ≤x+δx)；则随机变量ξ的概率密度函数(probabilitydensityfunction,PDF)为随机变量ξ处于[a,b]区间的概率为概率密度函数和累计分布函数都可以用来描述随机变量xxxxPxpx0limbadxxpbaP连续随机变量对于随机变量ξ的分布函数F(x),使对于任意实数x,有则称ξ为连续随机变量；其中函数p(x)为ξ的概率密度函数，具有下列性质xdttpxFxpxFdttpxFxFxxPdttptpxx)4()3(1)2(;0)1(211221分布函数和概率密度函数分布函数和概率密度函数均匀分布ababξξOp(x)F(x)1othersbxaabxp,0,1bxbxaabaxaxxF,1,,0ab1指数分布ξOf(x)lOξF(x)10,00,xxexpxllothersxexFx,00,1l正态分布(normaldistribution)设连续型随机变量X的概率密度为其中μ,σ(σ0)为常数,则称X服从参数为m,s的正态分布,记为X~N(m,s2)正态分布函数22221smsxexfxtdtexF22221sms正态分布(normaldistribution)特别地,当m=0,s=1时,称X服从标准正态分布,记为X~N(0,1),其概率密度和分布函数分别用j(x),F(x)表示,即有Fxtxdtexex22222121j随机变量的数学期望离散随机变量的数学期望(mathematicalexpectation)如果P{ξ=xi}=pi，那么随机变量ξ的数学期望为连续随机变量的数学期望如果随机变量ξ的概率密度函数为p(x)，那么其数学期望为数学期望的性质(1)若C是常数，则E(C)=C;(2)若X是随机变量，C是常数，则E(CX)=CE(X);(3)若X，Y是两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)若X，Y是两个独立随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y);iiipxdxxxpxE随机变量的方差为了描述随机变量与其期待的偏差，定义方差设X是一个随机变量，则E[X-E(X)]2称为X的方差一般有公式D(X)=E[XE(X)]2=E[X22XE(X)+(E(X))2]=E(X2)2E(X)E(X)+[E(X)]2=E(X2)[E(X)]2方差实际上就是随机变量X的函数g(X)=(XE(X))2的数学期望定义标准差（均方差）正态分布的两个参数μ和σ分别是数学期望和均方差；2XEXEXD2XEXEXDXs大数定律(lawsoflargenumber)(伯努利大数定律)设试验E是可重复进行的，事件A在每次试验中出现的概率P(A)=p(0p1),将试验独立地进行n次，用nA表示其中事件A出现的次数，则对于任意正数e,有或者写成大数定理表明事件发生的频率收敛于事件发生的概率；在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率0limor,1limeepnnPpnnPAnAnpnnA中心极限(centrallimit)定理设随机变量X1,X2,…,Xn是相互独立但同分布，期望和方差都是m,s2,考虑随机变量X=X1+…+Xn数学期望E(X)=m1+m2+…+mn=nm,方差D(X)=s12+s22+…+sn2=ns2,当n足够大的时候随机变量X=X1+…+Xn近似服从N(nm,ns2)；随机变量X=(X1+…+Xn)/n近似服从N(m,s2/n)；,2,1,0)(,)(2kXDXEkksm中心极限(centrallimit)定理假设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量，随机变量X=X1+X2+…+Xn，其中E(Xi)=mi,D(Xi)=si2,i=1,2,…,n,则根据数学期望和方差的性质可得E(X)=m=m1+m2+…+mn,D(X)=s2=s12+s22+…+sn2,则只要n相当大(10)，就近似有X~N(m,s2)；当一个随机变量X是由n个相互独立的随机变量的和构成，即X=X1+X2+…+Xn，只要n足够大，则不管这n个随机变量的分布有多么不同，随机变量X都近似服从正态分布；中心极限定理演示中心极限(centrallimit)定理问题：独立地掷10颗骰子，求掷出的点数之和在30到40点之间的概率以Xi表示第i颗骰子掷出的点数(i=1,2,…,10),则掷出的点数之和X=X1+…+X10近似服从N(10m,10s2)；即则所求概率为;1235,27;6,2,1,612smiiiXDXEjjXP12350,270~NX6476.04030XPMonteCarlo方法求圆周率圆周率π=3.1415926535897932384626433…边长为2的正方形，面积为4；正方形内切一个半径为1的圆，面积为π；则内切圆和正方形面积之比为π/4；假设在正方形内均匀撒点总点数为N落在圆内点数为m当N足够大时，有NmNm44方法求圆周率Fortran程序举例MonteCarlo方法求圆周率MonteCarlo方法求圆周率MonteCarlo方法求圆周率MonteCarlo方法求圆周率随机数与伪随机数蒙特卡洛方法需要进行大量重复的随机抽样；抽样过程中需要各种分布的随机变量，最简单的随机变量是在[0,1]区间上均匀分布的随机变量，其它更复杂的随机变量可以在此基础上生成；[0,1]区间均匀分布的随机变量总体中抽取的子样本ξ1,ξ2,…ξN称为随机数序列，其中每个个体称为随机数；物理方法可以得到真正的随机数；计算机中一般使用递推数学方法产生伪随机数；递推方法产生的随机数序列由递推函数和初始值唯一确定，不满足随机数相互独立的要求，而且存在周期；伪随机数的产生方法目前伪随机数的产生方法主要是同余法；由选定的初值出发，通过递推产生伪随机数序列；递推公式其中a,c,M分别称作倍数、增值和模，均为正整数；x0称作种子或初值，也为正整数；上述算法生成的xn是[0,M]区间的均匀分布整数，ξn=xn/M是[0,1]区间上的均匀分布实数；伪随机数的质量（周期长度，独立性和均匀性）与a,c,M有关；比如M=231,a=7,c=1；MxξMModcaxxnnnn;1随机数生成演示~pa/Random/Random.html伪随机数的产生方法线性同余生成器(LinearCongruentialGenerator)伪随机数的产生方法CombiningtwoLCGs1968,Marsaglia伪随机数的产生方法Fortran等程序语言都自带生成伪随机数的函数或者子程序；Fortran77：RANDFortran90：RANDOM_NUMBER也可以自行编写随机数生成程序随机数产生器随机数产生器随机变量抽样设F(x)为某已知的分布函数，随机变量抽样就是产生相互独立、满足分布函数F(x)的随机序列ξ1,ξ2,…ξN；一般用ξF表示具有分布函数F(x)的简