高一数学必修二空间点、直线、平面之间的位置关系复习课件

空间点、直线、平面之间的位置关系图形符号语言文字语言(读法)AaAaAaAaAAAAbaAabA点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内点、线、面的基本位置关系（1）符号表示：（2）集合关系：A、Aa、a线、a点、A面直线交于点a、b图形符号语言文字语言(读法)aaaaaAaAl平面与相交于直线l直线在平面内a直线与平面无公共点a直线与平面交于点aA返回平面几何中的“∥”“⊥”在空间中仍适用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.,,,AlBlABl且公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.“不共线的三点确定一个平面”公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.．．．ABC．．ABα,,PlPl且P且P判断线面位置判断面面位置（相交或平行）确定平面依据不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。没有只有一个没有共面不共面共面平行相交异面位置关系公共点个数是否共面异面直线的定义异面直线的画法说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.如图：aabaAbb(1)(3)(2)a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab思考异面直线的判定方法：(1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内.(2)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线已知：aBBAa,,,直线AB和a是异面直线aAB·按是否在同一平面内分同在一个平面内相交直线平行直线不同在任何一个平面内:异面直线有一个公共点:按公共点个数分相交直线无公共点平行直线异面直线空间直线与直线之间的位置关系公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.//a//b:abcc//bac即、、为直线，则注：1.直线a，b，c两两平行，可记为a//b//c.2.公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性.3.证明空间两直线平行的方法：(1)定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证两直线没有公共点(反证法)(2)公理法平行公理类型一直线与平面之间的位置关系[例1]下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A．0B．1C．2D．3ABCA1B1C1等角定理1:如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.DD1EE1推论:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.等角定理等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a,b的平行线a′和b′,abPa′b′O则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ称为异面直线a，b所成的角.？任选Oa′若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直.异面直线a与b垂直也记作a⊥b.平移两条异面直线所成的角注1:异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关，而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.αabOa’注2:异面直线所成角的取值范围：900注3:求异面直线所所成角的步骤：一作、二证、三求解aαa1b1O分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角（直角）叫做两异面直线所成的角为了简便，在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)baαOθABGFHEDC例2如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？(2)FO与BD所成的角？解:(1)如图:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又BEF中∠EBF=45，所以BE与CG所成的角是45ooO连接HA、AF，依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30o(2)连接FH，所以FO与BD所成的夹角是30o∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=则AH=HF=FA∴△AFH为等边△例3如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?3232解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60oABGFHEDC32322例4如图，在长方体中，已知AA1=AD=a,AB=a，求AB1与BC1所成的角的余弦值.3CBADA1B1C1D1aaa3三点共线的证明如图所示，平面ABD∩平面BCD＝直线BD，M、N、P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形．求证：三直线BD、MQ、NP共点．共点、共线和共面问题分析先证两直线交于一点，再证该点在第三条直线上．证明∵四边形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰，∴直线MQ、NP必相交于某一点O.∵O∈直线MQ，直线MQ⊂平面ABD，∴O∈平面ABD.同理，O∈平面BCD，又∵平面ABD∩平面BCD＝直线BD，∴O∈直线BD，从而三直线BD、MQ、NP共点．规律总结由已知条件，直线MQ、NP必相交于一点O，因此，问题转化为求证点O在直线BD上．由公理3，就是要寻找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线，同时点O是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题．