椭圆与双曲线常见题型归纳

1椭圆与双曲线常见题型归纳一.“曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解1.向量综合型例1.在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,3),(0,3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C,直线1ykx与C交于,AB两点。（Ⅰ）写出C的方程;（Ⅱ）若OAOB，求k的值。例2．设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点.（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求12PFPF的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围例3．设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点，)1,0(B．（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求12PFPF的最大值和最小值;（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且11CFBF，求的值；（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求1PBF的周长的最大值.2例4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3((1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：2kxy与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2OBOA(其中O为原点)，求k的取值范围。例5．已知椭圆2222byax（a＞b＞0）的离心率36e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．2．“中点弦型”例6.已知椭圆22143xy，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线4yxm对称。例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率3e，焦距为32（I）求该双曲线方程.（II）是否定存在过点P1(，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，说明理由.3例8．已知椭圆的中心在原点，焦点为F1()022，，F2（0，22），且离心率e223。（I）求椭圆的方程；（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为12，求直线l倾斜角的取值范围。3．“弦长型”例9．直线y＝kx＋b与椭圆2214xy交于A、B两点，记△AOB的面积为S．(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．例10．已知向量1m=（0，x），1n=（1，1），2m=（x，0），2n=（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量m=1m+22n，n=2m－21n，且m//n，点P（x，y）的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设直线1:kxyl与曲线C交于M、N两点，当|MN|=324时，求直线l的方程.yxOAB4二．“基本性质型”例11．设双曲线1C的方程为22221(0,0)xyabab，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线1C上的任一点，引,QBPBQAPA，AQ与BQ相交于点Q。（1）求Q点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为2C，1C、2C的离心率分别为1e、2e，当12e时，求2e的取值范围。例12．P为椭圆192522yx上一点，1F、2F为左右焦点，若6021PFF（1）求△21PFF的面积；（2）求P点的坐标．例13．已知双曲线与椭圆1244922yx共焦点，且以xy34为渐近线，求双曲线方程．例14.k代表实数，讨论方程22280kxy所表示的曲线.5例1.解:（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(03)(03)，，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b，故曲线C的方程为2214yx．（Ⅱ）设1122(,),(,)AxyBxy，其坐标满足22141.yxykx，消去y并整理得22(4)230kxkx，故1212222344kxxxxkk，．若OAOB，即12120xxyy．而2121212()1yykxxkxx，于是22121222233210444kkxxyykkk，化简得2410k，所以12k．例2．解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,3abc，所以123,0,3,0FF，设,Pxy，则22123,,3,3PFPFxyxyxy2221133844xxx因为2,2x，故当0x，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值2当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPF有最大值1解法二：易知2,1,3abc，所以123,0,3,0FF，设,Pxy，则22212121212121212cos2PFPFFFPFPFPFPFFPFPFPFPFPF2222221331232xyxyxy（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x不满足题设条件，可设直线1222:2,,,,lykxAxyBxy，联立22214ykxxy，消去y，整理得：2214304kxkx∴12122243,1144kxxxxkk由2214434304kkk得：32k或32k又000090cos000ABABOAOB，∴12120OAOBxxyy又2121212122224yykxkxkxxkxx22223841144kkkk622114kk∵2223101144kkk，即24k∴22k，故由①、②得322k或322k例3．解：（Ⅰ）易知2,1,3abc，所以123,0,3,0FF,设,Pxy,则22123,,3,3PFPFxyxyxy2221133844xxx因为2,2x，故当0x，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值2当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPF有最大值1（Ⅱ）设C（0x0，y），)1,0(B13,0F由11CFBF得1,)1(300yx，又142020yx所以有0762解得)01(7舍去（Ⅲ）因为|P1F|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴1PBF周长≤4＋|BF2|＋|B1F|≤8．所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，1PBF周长最大，最大值为8．例4．解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221xyab).0,0(ba由已知得.1,2,2,32222bbaca得再由故双曲线C的方程为.1322yx（Ⅱ）将得代入13222yxkxy.0926)31(22kxxk由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130,(62)36(13)36(1)0.kkkk即.13122kk且①设),(),,(BBAAyxByxA，则22629,,22,1313ABABABABkxxxxOAOBxxyykk由得而2(2)(2)(1)2()2ABABABABABABxxyyxxkxkxkxxkxx2222296237(1)22.131331kkkkkkk于是222237392,0,3131kkkk即解此不等式得.3312k②由①、②得.1312k故k的取值范围为33(1,)(,1).33例5．解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．依题意233622baabac，解得13ba，∴椭圆方程为1322yx．（2）假若存在这样的k值，由033222yxkxy，得)31(2k09122kxx．∴0)31(36)12(22kk．①设1(xC，)1y、2(xD，)2y，则2212213193112kxxkkxx，②而74)(2)2)(2(212122121xxkxxkkxkxyy要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则1112211xyxy即0)1)(1(2121xxyy∴05))(1(2)1(21212xxkxxk．③将②式代入③整理解得67k．经验证，67k，使①成立．综上可知，存在67k，使得以CD为直径的圆过点E．例6.解：设1122(,),(,)AxyBxy，AB的中点00(,)Mxy，21211,4AByykxx而22113412,xy22223412,xy相减得222221213()4()0,xxyy即1212003(),3yyxxyx，000034,,3xxmxmym而00(,)Mxy在椭圆内部，则2291,43mm即23231313m例7.（1）1222yx（2）设),(),,(2211yxByxA，直线：kkxy1，代入方程1222yx得02)1()1(2)2(222kxkkxk（022k）则12)1(2221kkkxx，解得2k，此时方程为03422xx，0方程没有实数根。所以直线l不存在。例8．解：（I）设椭圆方程为yaxbcca2222122223，由已知，又解得a=3，所以b=1，故所求方程为yx2291（II）设直线l的方程为ykxbk()≠0代入椭圆方程整理得()kxkbxb2229290由题意得()()()24990291222122kbkbxxkbk解得kk33或又直线l与坐标轴不平行故直线l倾斜角的取值范围是()()32223，，例9(I)解：设点A的坐标为(1(,)xb，点B的坐标为2(,)xb，由2214xy，解得21,221xb，所以222121||21112Sbxxbbbb当且仅当22b时，．S取到最大值1．（Ⅱ）解：由2214ykxbxy得222(41)8440kxkbxbyxOAB82216(41)kb①，｜AB｜＝222212216(41)1||1241kbkxxkk②又因为O到AB的距离2||21||1bSdABk所以221bk③③代入②并整理，得424410kk，解得，2213,22kb，代入①式检验，△＞0故直线AB的方程是：2622yx或2622yx或2622yx或2622yx．例10解：（I）由已知，m22(0,)(2,2),(2,2),xyyxn(,0)(2,2)(2,2).xx//,mn22(2)(2)(2)0yxx即所求曲线的方程是：.1222yx（Ⅱ）由.04)21(:.1,122222kxxkykxyyx得消去解得x1=0,x2=212,(214xxkk分别为M，N的横坐标）.由,234|214|1||1||22212kkkxxkMN.1:k解得所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.例11.解：（1）设00(,),(,)PxyQxy，∵(,0),(,0),,AaBaQBPBQAPA∴022002222000111yyxaxayyyyxaxaxaxa，∵2200221xyab，∴2202220ybxaa