立体几何平行垂直问题专题复习

1立体几何平行、垂直问题【基础知识点】一、平行问题1．直线与平面平行的判定与性质定义判定定理性质性质定理图形条件a∥α结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面3．直线与平面垂直的性质定理2文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线和平面垂直的常用性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2．平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【典例探究】类型一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥ABPC中，,,APPCACBCM为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；（Ⅱ）求证：平面ABC平面APC；（Ⅲ）若BC4，20AB，求三棱锥DBCM的体积。MDAPBC3FDEC1B1A1CBA例2.如图，已知三棱柱111ABCABC中，1AA底面ABC，2ACBC，14AA，22AB，M，N分别是棱1CC，AB中点.（Ⅰ）求证：CN平面11ABBA；（Ⅱ）求证：//CN平面1AMB；（Ⅲ）求三棱锥1BAMN的体积．【变式1】.如图，三棱柱111CBAABC中，侧棱1AA平面ABC，ABC为等腰直角三角形，90BAC，且1AAAB，FED,,分别是BCCCAB,,11的中点。（1）求证：//DE平面ABC；（2）求证：FB1平面AEF；（3）设ABa，求三棱锥DAEF的体积。ABCA1B1C1MN4二、线面平行与垂直的性质例3、如图4，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC∥，PAD△是等边三角形，已知24BDAD，225ABDC．（1）求证：BD平面PAD；（2）求三棱锥APCD的体积．例4、如图，四棱锥P—ABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，.31CBCG（I）求证：PCBC；（II）求三棱锥C—DEG的体积；（III）AD边上是否存在一点M，使得//PA平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。5【变式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.(Ⅰ)求证：AC平面BB1C1C；(Ⅱ)A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论.三、三视图与折叠问题例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。若F为PD的中点，求证：AF面PCD；（1）证明：BD∥面PEC；（2）求三棱锥EPBC的体积。ABEPDC4422444正视图侧视图俯视图6例6.已知四边形ABCD是等腰梯形，ABDEBADDCAB,45,1,3（如图1）。现将ADE沿DE折起，使得EBAE（如图2），连结ABAC,。（I）求证：平面ADE平面ACD；（II）试在棱AB上确定一点M，使截面EMC把几何体分成两部分的体积比1:2:MECBADCMEVV；（III）在点M满足（II）的情况下，判断直线AD是否平行于平面EMC，并说明理由。【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E为PD中点.科网（I）求证：PB//平面AEC；（II）求四棱锥CPAB的体积；（Ⅲ）若F为侧棱PA上一点，且FAPF，则为何值时，PA平面BDF.ECADBPMEDCBAEDCBA图1图27【变式4】如图1所示，正ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。现将ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如图2）（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥C-DEF的体积。四、立体几何中的最值问题例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A=AB=2.(1)求证:BC⊥平面A1AC；(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.图（2）图（1）FEFEABCABDCD图4ABCA18例8.如图，在=2,2ABCBABBCPAB中，，为边上一动点，PD//BC交AC于点D,现将'',PDA.PDAPDPDAPBCD沿翻折至使平面平面（1）当棱锥'APBCD的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为''.ACBDE的中点，求证：A【变式5】如图3，已知在ABC中，C90，PA平面ABC，AEPB于E，AFPC于F，APAB2，AEF，当变化时，求三棱锥PAEF体积的最大值。9高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题（答案）【典例探究】例1解：（Ⅰ）∵MAB为中点,D为PB中点,∴MD∥AP，又∴MDAPC平面∴DM∥APC平面（Ⅱ）∵△PMB为正三角形,且D为PB中点，∴MDPB又由（1）∴知,MDAP∴APPB又已知APPC∴APPBC平面，∴APBC，又∵ACBC∴BCAPC平面,∴平面ABC平面PAC,（Ⅲ）∵20AB，∴10MB,∴10PB又4BC，1001684221PC∴1114221221244BDCPBCSSPCBC221120105322MDAP又∴112215310733DBCMMBCDBDCVVSDM例2.（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABCABC中，1AA底面ABC又因为CN平面ABC，所以1AACN.………………………1分因为2ACBC，N是AB中点，所以CNAB.…………………………………………2分因为1AAABAI，……………………………………………3分所以CN平面11ABBA．……………………………………………4分（Ⅱ）证明：取1AB的中点G，连结MG，NG，因为N，G分别是棱AB，1AB中点，所以1//NGBB，112NGBB.ABCA1B1C1MNGMDAPBC10又因为1//CMBB，112CMBB，所以//CMNG，CMNG.所以四边形CNGM是平行四边形.…………………………………………6分所以//CNMG.……………………………………………………………7分因为CN平面1AMB，GM平面1AMB，……………………………8分所以//CN平面1AMB．………………………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM平面1ABN.……………………………………………10分所以11MNMN1124423223BAABVV.…………………………13分变式1.（1）根据中点寻找平行线即可；（2）易证1AFBF，在根据勾股定理的逆定理证明1BFEF；（3）由于点D是线段1AB的中点，故点D到平面AEF的距离是点1B到平面AEF距离的12，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。【解析】（1）取AB中点O，连接DOCO,,,//,21,//11CEDOCEDOAADOAADO平行四边形DOCE，DECODE,//平面ABC，CO平面ABC，//DE平面ABC。（4分）（2）等腰直角三角形ABC中F为斜边的中点，BCAF又直三棱柱111CBAABC，面ABC面CCBB11，AF面BC1，FBAF1设EFFBEBEFFBEBEFFBAAAB121221111,,23,23,26,1又,FEFAFFB1面AEF。（8分）（3）由于点D是线段1AB的中点，故点D到平面AEF的距离是点1B到平面AEF距离的12。2212622BFaaa，所以三棱锥DAEF的高为64a；在RtAEF中，32,22EFaAFa，所以三棱锥DAEF的底面面积为268a，故三棱锥DAEF的体积为23166138416aaa。（12分）11OPDCBA二、线面平行与垂直的性质例3.（1）证明：在ABD△中，由于2AD，4BD，25AB，∴222ADBDAB.……2分∴ADBD．又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，∴BD平面PAD.……4分（2）解：过P作POAD交AD于O.又平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD．……6分∵PAD△是边长为2的等边三角形，∴3PO.由（1）知，ADBD，在RtABD△中，斜边AB边上的高为455ADBDhAB.……8分∵ABDC∥，∴114552225ACDSCDh△.……10分∴112323333APCDPACDACDVVSPO△.……14分例4、（I）证明：PD平面ABCD，BCPD又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PDICE=D，∴BC⊥平面PCD又∵PC面PBC，∴PC⊥BC（II）解：∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G—DEC的高。∵E是PC的中点，1)2221(212121PDCEDCEDCSSS921323131DECDECGDEGCSGCVV（III）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA//平面MEG。下面证明之∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO//平面PA，12又MEGPAMEGEO平面平面,，∴PA//平面MEG在正方形ABCD中，∵O是AC中点，OCG≌OAM,32CGAM∴所求AM的长为.32变式2.证明：(Ⅰ)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，∴AC=2，∠CAB=45°，∴BC=2，∴BC⊥AC.又BB1∩BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.(Ⅱ)存在点P，P为A1B1的中点。证明：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1=21AB.又∵DC∥AB，DC=21AB，∴DC∥PB1，且DC=PB1，∴DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP.又CB1∥ACB1,DP面ACB1，∴DP∥面ACB1.同理，DP∥面BCB1.例5、（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA面ABCD，PA∥EB，24.PAEB,PAADF为PD中点，.PDAF又,,CDDACDPA,CDAFAF面PCD。（2）取PC的中点M，AC与BD的交点为N，1,2MNPAMN∥PA，ABEPDC4422444正视图侧视图俯视图13,MNEBMN∥EB，故BEMN为平行四边形，EM∥BN，BD∥面PEC。（3）1116()323EPBCCPBEVVBEABBC例6.答案略变式3.解：（１）由三视图得，四棱锥底面ABCD为菱形,棱锥的高为3,设ACBDO,则PO即是棱锥的高,底面边长是2，连接OE，,EO分别是,DPDB的中点，OE∥BP，,OEAECBPAEC面面PB∥AEC面（2）1111(223)332232VVV三棱锥C-PAB三棱锥P-ABC四棱锥P-ABCD（3）过O作3,,