傅里叶变换

电器信息工程学院蔡超峰引言如果能够找到一类基本信号ϕ(t)或ϕ(n)，它满足：用它们能构成相当广泛的信号；LSI系统对每个ϕ(t)或ϕ(n)的响应十分简单。则系统对任意输入信号的响应将会具有一个简单的表达式。单位冲激信号δ(t)或δ(n)、复正弦信号ejΩt或ejωt、复指数信号est和zn同时具有上述两个性质。如果ϕ(t)或ϕ(n)为单位冲激信号，即为时域分析方法（卷积）。如果ϕ(t)或ϕ(n)为复正弦信号、复指数信号，即为变换域分析方法，分别对应于傅里叶变换、z变换或拉普拉斯变换。引言对于单位冲激响应为h(t)的LSI系统，若输入是x(t)=ejΩt，则系统的响应y(t)为：令：则有:由此可见，连续时间LSI系统对复正弦信号输入的响应，仍是一个相同频率的复正弦信号，只是复数幅度有所改变。离散情况下也是一样:dehedehdtxhtyjtjtjΩΩ)(Ω)()()()()(dehΩjHΩj)()(tΩjeΩ)jHty()(nje)jHny()(引言假设连续时间和离散时间LSI系统的某个任意输入信号分别是复正弦信号ejΩt或ejωt的一个线性组合：根据LSI系统的线性性质，它们对x(t)和y(t)的响应分别是：结论：只要任意的输入信号x(t)或x(n)能分别表示成复正弦信号的线性组合，就可以很方便的写出LSI系统对它们的响应。tjkkkeatx)(njkkkeanx)(tjkkkkejHaty)()(njkkkkejHany)()(第四章傅里叶变换1.连续和离散傅里叶级数2.连续和离散傅里叶变换3.傅里叶级数与傅里叶变换的比较4.有限长序列的离散傅里叶变换傅里叶，1768－18301.连续和离散傅里叶级数任何连续时间周期信号，只要它满足狄里赫利（Dirichlet）条件（后面介绍），都可以展开为复正弦形式的傅里叶级数：其中T为的周期，T表示长度为T的任意区间。此即连续傅里叶级数（ContinuousFourierSeries,CFS）。从上述公式可以看出，连续时间周期信号可以表示为与其重复频率Ω0成谐波关系的一系列复正弦信号ejΩ0t的线性组合，每个ejΩ0t的复数幅度就是傅里叶级数的系数X(kΩ0)。π/TΩ,eΩkXtxtΩjkk2)()(~000)(~txdtetxTΩkXTtΩjk0)(~1)(0)(~tx)(~tx利用欧拉公式，还可以给出三角形式的傅里叶级数：或：)Ωsin()Ωcos()(~1000kkktkbtkaatxTkTkTdttktxTbdttktxTadttxTa)Ωsin()(~2)Ωcos()(~2,)(~10001.连续和离散傅里叶级数)Ωcos()(~100kkktkcctx)/arctan()(~1220kkkkkkTab,bac,dttxTc1.连续和离散傅里叶级数定义离散傅里叶级数（DiscreteFS,DFS）：这两个公式表明，任意周期序列都可以表示为与其重复频率ω0成谐波关系的一系列复正弦序列ejω0n的线性组合，每个ejω0n的复数幅度就是离散傅里叶级数的系数X(kω0)。CFS与DFS的区别：CFS是一个无穷级数，而周期为N的周期序列的DFS却是一个有限级数，它只有N项，即：/N2,ekXNnxNknjk000)(~1)(~NnnjkenxkX0)(~)(~0)(~nxnjknNjNnNjknNNkjnNkjeeeee00)/2()/2()/2)(()(,2,1,0],)[(~)(~00llNkXkX1.连续和离散傅里叶级数连续傅里叶级数的收敛条件：条件1在任何一个周期内必须模可积，即条件2在任何一个周期内极大值和极小值的个数有限；条件3在任何一个周期内只有有限个数的间断点。此即狄里赫利（Dirichlet）条件。不满足狄里赫利条件的周期信号都属于一种比较反常的周期信号，在信号分析与处理中没什么特别的重要性。dttxT)(~π/TΩ,eΩkXtxtΩjkk2)()(~000dtetxTΩkXTtΩjk0)(~1)(0dttxTdtetxTΩkXTTtΩjk)(~1)(~1)(001.连续和离散傅里叶级数离散傅里叶级数的收敛：离散傅里叶级数涉及到的都是有限项求和，因此只要是有界的，即对所有的n，都有，则DFS的收敛不存在任何问题。或者说，只要在一个周期内的能量是有限的，即则DFS一定收敛。)(~nx|)(~|nx)(~nxNnnx2|)(~|/N2,ekXNnxNknjk000)(~1)(~NnnjkenxkX0)(~)(~01.连续和离散傅里叶级数周期信号用截短了的傅里叶级数近似：如果把周期信号和分别展成它们的CFS和DFS，并把无限项的CFS和有限项的DFS在某一处截断，分别得到：和对和的逼近是能量意义上的最佳逼近。当M趋于无穷或者(2M+1)=N时，误差为0。这种最佳逼近表明可以用有限项低次谐波分量近似的表示一个周期信号，且近似的均方误差可以做到任意小。)(~nx)(~txtΩjkMMkMeΩkXtx0)()(~0NMekXMnxMMknjkM)12(,)(~121)(~00)(~nxM)(~txM)(~nx)(~tx1.连续和离散傅里叶级数习题：求周期矩形脉冲的傅里叶级数表示。由于是偶对称的，因此积分区间选为（−T/2,T/2），则有：对于k=0，X(0)=τ/T，它代表的直流分量。对于k≠0，则有)(~tx1-τ/20t-τ/2……T−T)(~txdtetxTkXTTtjk2/2/Ω00)(~1)Ω()(~tx0,/2Ω),2Ω(2/Ω)2/Ωsin()Ωcos(1])Ωsin()Ω[cos(11)Ω(00002/2/02/2/002/2/Ω00kTkSaTkkTdttkTdttkjtkTdteTkXtjk1.连续和离散傅里叶级数Sa(x):)2Ω()Ω(00kSaTkXtjkkekXtx0Ω0)Ω()(~)Ω(0kXx由于为实偶对称的周期信号，因此傅里叶级数系数均为实数，所以才能画出上图所示的实数频谱。1)(~txkτ/T00……1.连续和离散傅里叶级数一般的周期信号的傅里叶级数系数是一个复数，难以用一个实数频谱图形表示出来。此时，必需用模和辐角或者实部和虚部来表示。通常采用模和辐角的形式：幅度谱：相位谱：kjekXkX|)Ω(|)Ω(00τ/Tk0−πkkτ/T01.连续和离散傅里叶级数离散情况下：,2,1,0,)2/sin(]2/)12(sin[)(0100kkNkkX10nN1……N−N−N1(2N1+1)k0……N0─N1.连续和离散傅里叶级数周期信号频谱的特点：1.连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条谱线之间的间隔等于重复频率（Ω0=2π/T或ω0=2π/N）。2.连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有周期性，在频域上为2π，在k域上为N。k0……k0……N0─N1.连续和离散傅里叶级数3.实周期信号的傅里叶级数系数只有一半是独立的，另外一半可以通过共轭偶对称性质求得。4.把周期信号幅度谱的谱线顶点连接起来，就形成周期信号的频谱包络。对于实周期脉冲信号，从0到第一个包络线零点的频率范围内，谐波分量占去了周期信号功率的绝大部分，通常把这个频率范围作为周期脉冲信号的频谱宽度BΩ。k0Sa(x)/x:x)2Ω()Ω(00kSaTkX/2ΩB11.连续和离散傅里叶级数LSI系统对周期输入信号的响应（以连续周期信号为例）：是周期信号，周期与输入信号相同。但它们的CFS系数变成了，故周期区间内的波形有所改变。周期输入信号通过LSI系统以后，的谐波分量要乘以，即得到不同复数增益，有的分量被放大，有的分量有所衰减，这也是“信号滤波”的概念和方法的来由。)()(~)(~thtxtytΩjkkeΩkXtx0)()(~0tΩjkkeΩkHΩkXty0)()()(~00)(~ty)(~tx)(~tx)(0ΩkHtΩjke000(Ω)(Ω)XkHk1.连续和离散傅里叶级数关于傅里叶级数：周期信号的傅里叶级数表示法，可以统一在傅里叶变换表示法中，统称为傅里叶表示法。周期时间函数和序列一般不可能称为实际LSI系统的单位冲激响应，因此只有周期信号的傅里叶级数表示法，没有LSI系统的傅里叶级数表示法。周期信号不能代表所有的信号，因此只有傅里叶级数表示法并不能说明复正弦信号是能构成相当广泛的一类信号的基本信号。2.连续和离散傅里叶变换定义连续傅里叶变换（ContinuousFourierTransform，CFT）：其中x(t)为连续非周期信号且满足狄里赫利条件。定义离散时间傅里叶变换（DiscreteTimeFT，DTFT）：dtetxΩjXtΩj)()(ΩdeΩjXtxtΩj)(21)(nnjenxjX)()(~21()()2jjnxnXeed2.连续和离散傅里叶变换CFT与DTFT的区别：1.非周期连续函数x(t)的傅里叶变换X(jΩ)在Ω上是非周期函数，非周期序列x(n)的离散时间傅里叶变换X(jω)在ω是以2π为周期的函数，故可用任何一个2π长度区间上的X(jω)充分表示。2.对于CFT来说，Ω=0附近为低频区域，Ω趋于无穷则为最高频率。对于DTFT来说，当ω等于0或π的偶数倍时，ejωn为常数，附近为低频区域；当ω等于π的奇数倍时，ejωn是最高频率的复正弦信号。2.连续和离散傅里叶变换连续傅里叶变换的收敛条件：条件1模可积，即或者x(t)模平方可积，即x(t)为能量信号；条件2在任何有限区间内，x(t)只包含有限数目的极大值和极小值点。条件3在任何有限区间内，x(t)只有有限个数的阶跃型不连续点，且每一个间断点上的跳变值必须是有限值。tdtx)(2.连续和离散傅里叶变换离散傅里叶变换的收敛条件：即x(n)模可和，或者x(n)模平方可和，亦即x(n)是能量信号。nnx)(2.连续和离散傅里叶变换典型例子：单位冲激函数δ(t)和单位冲激序列δ(n):单边实指数函数和序列：1)(0ttjtjetdet)()(tuetxat)()(nuanxn()011()()t,0atjtajtXjeutedeaajaj10,11)()()(~0aaeeaenuajXjnjnnjnn1)(0nnjnjeen2.连续和离散傅里叶变换矩形窗函数:2/,02/,1)(tttx)2()2/sin(2)(2/2/SatdejXtjsin[(21)/2],2sin(/2)()(21),2NjnnNNlXjeNl1,()0,nNxnnNω0Ω02.连续和离散傅里叶变换考察CFS和CFT：傅里叶反变换所起的作用与傅里叶级数表示法中合成公式一样，都把一个信号看成一组复正弦信号的线性组合，区别仅在于傅里叶反变换表示为连续的线性组合。称为信号x(t)的频谱密度函数，或简称频谱，反映了单位频带内复正弦分量的复数幅度值的分布情况。离散情况下也是一样。dtetxΩjXtΩj)()(ΩdeΩjXtxtΩj)(21)(0Ω0