9.第九次课——单层板的细观力学分析

上次课内容回顾•3.3一般层合板的刚度•3.4层合板的强度3.3一般层合板的刚度一般层合板定义对、、等没有任何限制的各种层合板单层材料铺设方向铺设顺序层合板刚度的三种表征形式刚度系数柔度系数工程弹性常数层合板内力-应变关系式的系数层合板应变-内力关系式的系数3.3.1经典层合板理论•层合板刚度的推导需建立以下假设：•①层合板的各铺层间粘结层很薄且牢固，无层间滑移；•②层合板是薄板，层合板的厚度均匀，忽略，各个单层按平面应力状态分析。•③直法线假设——=0，==0，即层合板弯曲变形在小挠度范围，变形前垂直于中面的直线在变形后仍保持直线并垂直于中面，且该直线的长度不变，Z是中面法向zzxzyzxzyo相当于忽略了垂直于中面的平面内的剪应变0,0,0ywzvxwzuzwyzxzzw仅为x、y的函数；u0、v0、w0，仅是x、y的函数通过上述假设，建立起经典层合板理论1.层合板的应变22xwkx22ywkyyxwkxy22层合板中面弯曲变形的曲率层合板中面弯曲变形的曲率层合板扭曲变形的曲率xyyxxyyxxyyxkkkz000kz0层合板离中面任意距离z的应变可以用中面上相应点（x，y坐标相同的点）的面内应变和弯曲率来表示，同时层合板的应变沿厚度z是线性变化的。层合板应变表达式yxwzxuyvyuxvywzyvyyyxwzyxvyvxwzxuxxyxwzyxuxuxyyx200220022002)(,)),(),((,)),(),((2.层合板的内力,,,,,,2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/zdzMzdzMzdzMdzzMdzQdzQdzNdzNdzNdzNhhyxyxhhxzxyhhyyhhxxhhyzyhhxzxhhyxyxhhxyxyhhyyhhxx根据剪应力互等原理，剪力互等，扭矩互等，即Nxy=Nyx；Mxy=Myx将以上得到的这些内力定义在单位宽度上，可以得到下面的公式•设层合板中第k层的应力为，层合板的内力表达式可写为以下形式dzdzNNNnkZZkxykykxhhxyyxxyyxkk1)()()(221)(kzdzzdzMMMnkZZkxykykxhhxyyxxyyxkk1)()()(221层合板的内力表达式依据以上经典层合理论，只考虑平面应力状态，不考虑各单层之间的层间应力。由于层合板各个单层的偏轴模量是不同的，层合板的应力是不连续分布的，只能分层积分。ijQdzNnkZZkkk1)(1dzzMnkZZkkk1)(13.层合板的内力-应变关系式•当层合板在载荷作用下变形，各个单层的应力应变关系仍然满足式（2.2.12），对于层合板的第k层，在x-y坐标系中可写为kxyyxkkxyyxQQQQQQQQQ662616262212161211将其代入层合板内力表达式dzdzNNNnkZZkxykykxhhxyyxxyyxkk1)()()(221zdzzdzMMMnkZZkxykykxhhxyyxxyyxkk1)()()(2213.层合板的内力-应变关系式dzdzNNNnkZZkxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1662616262212161211221zdzzdzMMMknkZZkxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1662616262212161211221xyyxxyyxxyyxkkkz000层合板应变表达式dzkkkzdzNNNnkZZxyyxxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1000662616262212161211221)(zdzkkkzzdzMMMknkZZxyyxxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1000662616262212161211221)(层合板内力表达式课本中式3.3.10的变形3.层合板的内力-应变关系式dzkkkzdzNNNnkZZxyyxxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1000662616262212161211221)(zdzkkkzzdzMMMknkZZxyyxxyyxkhhxyyxxyyxkkQQQQQQQQQ1000662616262212161211221)(在确定的载荷条件下，面移到积分与求和记号外值变化的，可以是不随和zk0kkkkkkkkzznkkzznkkzznkkzznkkdzzQkzdzQMzdzQkdzQN121)(11)(011)(11)(0][][][][）（）（模量矩阵在单层内是不变的，可以从每一层的积分号中提出来，但必须在各层的求和号之内3.层合板的内力-应变关系式kkkkkkkkzznkkzznkkzznkkzznkkdzzQkzdzQMzdzQkdzQN121)(11)(011)(11)(0][][][][）（）（将合并为矩阵形式kdzzQzdzQzdzQdzQMNkkkkkkkkzznkkzznkkzznkkzznkk）（0121)(11)(11)(11)(][][][][3.层合板的内力-应变关系式kdzzQzdzQzdzQdzQMNkkkkkkkkzznkkzznkkzznkkzznkk）（0121)(11)(11)(11)(][][][][写成全矩阵形式xyyxxyyxzznkkijzznkkijzznkkijzznkkijxyyxxyyxkkkdzzQzdzQzdzQdzQMMMNNNkkkkkkkk000121)(11)(11)(11)(][][][][应变表示内力的一般层合板的物理方程层合板的内力-应变关系式3.层合板的内力-应变关系式kDBBAMN0简化形式xyyxxyyxxyyxxyyxMMMMNNNNkkkk,,,0000kkzznkkijijdzQA11)(][kkzznkkijijzdzQB11)(][kkzznkkijijdzzQD121)(][000666261666261262221262221161211161211666261666261262221262221161211161211xyyxxyyxxyYXxyyxkkkDDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAAMMMNNN层合板的内力-应变关系式（矩阵全式）子矩阵的数学计算公式xyyxxyyxzznkkijzznkkijzznkkijzznkkijxyyxxyyxkkkdzzQzdzQzdzQdzQMMMNNNkkkkkkkk000121)(11)(11)(11)(][][][][3.4层合板的强度3.4.1层合板各个单层的应力计算和强度校核尽管层合板在载荷作用下，应变沿着厚度方向的分布形式较为简单但是层合板各个单层中纤维的方向不一定相同纤维与基体材料也不一定相同也就是说层合板各个单层的偏轴模量可以不同，所以应力沿着厚度的分布要复杂的多。ijQ层合板单层板3.4层合板的强度3.4.1层合板各个单层的应力计算和强度校核从图中的例子可以看出，对于层合板来讲，应变是由中面应变和弯曲应变两部分组成，沿着厚度方向线性分布；而层合板各个单层的偏轴模量可以是不同的，因为层合板各个单层的纤维方向不一定相同，纤维与基体也不一定相同。应变分布单层刚度分布层合板应力分布层合板的应力除了与应变有关之外，还与各个单层刚度特性有关，若各层的刚度不相同，则各层应力不连续分布，应力会在层间处发生突变，但在每一个单层内是线性分布的。左图表示一块由4层单层板组成的层合板ijQxyyxxyyxxyyxkkkz0003.4.1层合板各个单层的应力计算和强度校核3.4层合板的强度由于方向角不同的单层叠合而成的多向层合板，强度校核时必须分析各个单层的应力，然后按照选定的强度准则对各个单层的强度做出判断。由于层合板具有层合的结构形式，在外载荷作用下，一般是逐层失效的，因此必须做出单层应力分析，可近似通过单层的强度来预测层合板强度。已知层合板正则化面内力和弯曲力矩，求出面内刚度系数由面内刚度系数求出柔度系数求出中面应变和弯扭曲率求出参考轴方向各个单层的应变按照应变转换公式得到各个单层正轴方向的应变值最后利用正轴应力-应变关系得到各单层正轴应力分量*******66*62*61*66*62*61*26*22*21*26*22*21*16*12*11*1