二次函数培优1(含详细答案及解析)

..二次函数培优综合练习一1．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(-1,0)、B(4,5)两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标．【答案】（1）y=x2-2x-3．（2）19，（3）3352、3352、352、352．【解析】试题分析：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c求出b和c的值即可；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，根据勾股定理可求出AB的长，进而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO=2212992OHBH．（3）设点M的坐标为（x，x2-2x-3），点N的坐标为（x，x+1），在分两种情况：当点M在点N的上方时和当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形讨论求出符合题意的点M的横坐标即可．试题解析：：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c，得101645bcbc，解得b=-2，c=-3．∴抛物线的解析式：y=x2-2x-3．（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，∴AC=BC．∴∠BAC=45°，AB=2252ACBC．如图1，过点O作OH⊥AB，垂足为H．试卷第2页，总72页在Rt△AOH中，OA=1，∴AH=OH=OA×sin45°=1×22=22，∴BH=AB-AH=2925222，在Rt△BOH中，tan∠ABO=2212992OHBH．（3）直线AB的解析式为：y=x+1．设点M的坐标为（x，x2-2x-3），点N的坐标为（x，x+1），如图2，当点M在点N的上方时，则四边形MNCB是平行四边形，MN=BC=5．由MN=（x2-2x-3）-（x+1）=x2-2x-3-x-1=x2-3x-4，解方程x2-3x-4=5，得x=3352或x=3352．②如图3，当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形，NM=BC=5．..由MN=（x+1）-（x2-2x-3）=x+1-x2+2x+3=-x2+3x+4，解方程-x2+3x+4=5，得x=352或x=352．所以符合题意的点M有4个，其横坐标分别为：3352、3352、352、352．考点：二次函数综合题．2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）不变化见解析（3）存在最小值6【解析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．试卷第4页，总72页又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。又∵AB=BC，∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。∴EM=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即2xBE2+8。∴2xCFBEEM2+x8。又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，∴22211x11SBECFBC=4+x4=x2x+8=x2+622422。..∵1042，∴当x=2时，S有最小值6。考点：翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。3．在平面直角坐标系中，已知抛物线21yxbxc2(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，–1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限．(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求b，c的值；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q．①点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标；②取BC的中点N，连接NP，BQ．当PQNPBQ取最大值时，点Q的坐标为________.【答案】（1）b2c1；（2）①（4，﹣1），（﹣2，﹣7）；②41,33.【解析】试题分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求即可求得b，c的值.（2）①首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，点M到PQ的距离为22．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x-5）与抛物线的交点，即为所求之M点.②由①可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值．如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，进而求出点Q的坐标.试题解析：（1）由题意，得点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴c11164bc12，解得b2c1.（2）①由（1）得抛物线的函数表达式为：21yx2x12.∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直线AC的解析式为：y=x﹣1.设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上.∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1）.试卷第6页，总72页则平移后抛物线的函数表达式为：21yxmm12.解方程组：2yx11yxmm12，解得11xmym1，22xm2ym3.∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）.过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2，∴PQ=22=AP0.当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，点M到PQ的距离为22（即为PQ的长），由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=22.如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线21yx2x12于点M，则M为符合条件的点.∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1.∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5.∴直线l1的解析式为：y=x﹣5.解方程组2yx51yx2x12，得：11x4y1，22x2y7.∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）.②取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．如答图2，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′.∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，则PQNPBQ取最大值，∴点Q的坐标为41,33...考点：1.二次函数综合题；2.平移问题；3.二次函数的图象与性质；4.待定系数法的应用；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.等腰直角三角形的判定和性质；7.轴对称的应用（最短路线问题）.4．如图，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4,OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D。（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）y=﹣x2+3x；（2）（1，94）；（3）N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣7﹣1，0），N4（7﹣1，0）．【解析】试题分析：（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x-2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，94），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=94，N′P=AQ=3，将y=-94代入得：-94=-34x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，试卷第8页，总72页由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．试题解析：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：403kbb，解得：343kb，故直线AC解析式为y=﹣34x+3，与抛物线解析式联立得：2334334yxyxx，解得：194xy或40xy，则点D坐标为（1，94）；（3）存在，分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，94），即DM=2，故AN=2，∴N1（2，0），N2（6，0）；②当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，∴MP=DQ=94，NP=AQ=3，将yM=﹣94代入抛物线解析式得：﹣94=﹣x2+3x，..解得：xM=2﹣7或xM=2+7，∴xN=xM﹣3=﹣7﹣1或7﹣1，∴N3（﹣7﹣1，0），N4（7﹣1，0）．综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣7﹣1，0），N4（7﹣1，0）．考点：二次函数综合题．5．如图，在平面直角坐标系中，直线3342yx与抛物线214yxbxc交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方．．的抛