高中数学函数单调性的判断方法

高中数学函数单调性的判断方法单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？方法一：定义法对于函数f(x)的定义域I内某个区间A上的任意两个值12,xx（1）当12xx时，都有12()()fxfx,则说f(x)在这个区间上是增函数；（2）若当12xx时，都有12()()fxfx,则说f(x)在这个区间上是减函数。例如：根据函数单调性的定义，证明：函数在上是减函数。要证明函数f（x）在定义域内是减函数，设任意1212,xxRxx且，则33221221212121()()()()fxfxxxxxxxxx，12xx因为210xx所以，且在1x与2x中至少有一个不为0，不妨设20x，那么222222121123()24xxxxxxx0，12()()fxfx所以，故()fx在(,)上为减函数。方法二：性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题.若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：1.f(x)与c•f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性；2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；例如，已知f（x）在R上是减函数，那么-5f（x）为____函数。这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题）对于复合函数y＝f[g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令t＝g(x)，则三个函数y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f[g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。例如，求函数y=log4(x2－4x+3)的单调区间。解：设y=log4u,u=x2－4x+3.由u＞0,u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.方法四：图像法画出函数的图形，直接根据图像走势，判断函数在某一子区间的单调性。例如，画出函数22||1yxx图象并写出函数的单调区间。解：2221(0)21(0)xxxyxxx即22(1)2(0)(1)2(0)xxyxx如图所示，单调增区间为(,1][0,1]和，单调减区间为[1,0][1,)和方法五：导数法函数的单调性与导数的关系：在某个区间(,)ab内，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减。例如，求函数32)(24xxxf的单调区间。解：函数)(xf的定义域为R，xxxxxxf)1)(1(44)(4令0)(xf，得01x或1x．∴函数)(xf的单调递增区间为（－1，0）和),1(；令0)(xf，得1x或10x，∴函数)(xf的单调递减区间为)1,(和（0，1）．