等腰三角形性质：三线合一”专题

中小学个性化辅导专家等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。【例题讲解】例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。变式练习1-1如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。变式练习1-2已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。例二：如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若CD＝4，且△BDC周长为24，求AE的长度。ABCED中小学个性化辅导专家例三.等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=___________。图1分析：如图1，AB=AC，BD⊥AC于D，作底边BC上的高AE，E为垂足，则可知∠EAC=∠EAB12，又∠EACCC9090°∠，∠°∠，所以∠，EAC12。例四.已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CEBC12，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。图2分析：欲证∠ACE=∠B，由于AC=AB，因此只需构造一个与Rt△ACE全等的三角形，即做底边BC上的高即可。证明：作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BDBC12又∵CEBC12，∴BD=CE。在Rt△ABD和Rt△ACE中，AB＝AC，BD=CE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）。∴∠ACE=∠B例五.已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：中小学个性化辅导专家M是BE的中点。图3分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，因此只需证DB=DE，即证∠DBE=∠E，根据等边△ABC，BD是中线，可知∠DBC=30°，因此只需证∠E=30°。证明：联结BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°∵CD=CE，∴∠CDE=∠E=30°∵BD是AC边上中线，∴BD平分∠ABC，即∠DBC=30°∴∠DBE=∠E。∴DB=DE又∵DM⊥BE，∴DM是BE边上的中线，即M是BE的中点。巩固练习一：1、已知ABC的周长为cm36，且ACAB，又BCAD，D为垂足，ABD的周长为cm30，那么AD的长为（）A．cm6B.cm8C.cm12D.cm202、如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=300，AD=AE，则∠EDC=（）A．100B.12.50C.150D.2003、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有（）A、2对B、3对C、4对D、5对4、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为()A．∠AED∠AGFB．∠AED＝∠AGFC．∠AED∠AGFD．不能确定5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB的周长为28，那么BE的长为。DABCEF第3题图ABDEC第2题图第4题图CABDEADCBEAAA第7题图BAEDFC第5题图第6题图中小学个性化辅导专家7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则△ABC的面积为8、、如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=21∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上)9、已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CEBC12，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。10、如图△ABC中，AB=ACD为AC上任意一点，延长BA到E使得AE=AD连接DE，求证DE⊥BC11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ．EDCBA中小学个性化辅导专家12、如图，以△ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证：∠ABC=∠ACB【巩固练习二】1、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。2、在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm，则∠BAC＝________，∠DAC＝________，BD＝________cm。3、在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝3，AC＝4，则AD＝________。4、已知△ABC中，∠A＝n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（）（A）90°－n21°（B）90°＋n21°（C）180°－n°（B）180°－n21°5、下列两个三角形中，一定全等的是（）（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B）两个等边三角形（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形6、已知：如图，△ABC中，AB=AC。小强想做∠BAC的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠BAC的平分线？7、已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。NMGFEDCBAACBDE中小学个性化辅导专家8、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB上一点，且BD=BC。DE⊥AB交AC于E。求证：CD⊥BE。9、如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。10、如图2，BM，CN分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。AM⊥BM，M、N为垂足。求证：MN∥CN。