中职数学不等式

2.1不等式的性质一、知识要点：性质1(传递性)如果a＞b，b＞c，则a＞c．性质2(加法法则)不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变．如果a＞b，则a＋c＞b＋c．不等式中任何一项，变号后可以从一边移到另一边．例1(1)在－6＜2的两边都加上9，得；(2)在4＞－3的两边都减去6，得；(3)如果a＜b，那么a－3b－3；(4)如果x＞3，那么x＋25；(5)如果x＋7＞9，那么两边都，得x＞2．性质3(乘法法则)如果不等式两边都乘同一个正数，则不等号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等号的方向改变．如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．练习2(1)在－3＜－2的两边都乘以2，得；(2)在1＞－2的两边都乘以－3，得；(3)如果a＞b，那么－3a－3b；(4)如果a＜0，那么3a5a；(5)如果3x＞－9，那么x－3；(6)如果－3x＞9，那么x－3．练习3判断下列不等式是否成立，并说明理由．(1)若a＜b，则ac＜bc．()(2)若ac＞bc，则a＞b．()(3)若a＞b，则ac2＞bc2．()(4)若ac2＞bc2，则a＞b．()(5)若a＞b，则a(c2＋1)＞b(c2＋1)．()2.2区间的概念一、知识要点：设a，b是实数，且a＜b．满足a≤x≤b的实数x的全体，叫做闭区间，记作[a，b]，如图．a，b叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．例1用区间记法表示下列不等式的解集：(1)9≤x≤10；(2)x≤0.4．练习1用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：(1)－2≤x≤3；(2)－3＜x≤4；(3)－2≤x＜3；(4)－3＜x＜4；(5)x＞3；(6)x≤4．例2用集合的性质描述法表示下列区间：(1)(－4，0)；(2)(－8，7]．练习2用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示这些区间：(1)[－1，2)；(2)[3，1]．例3在数轴上表示集合{x|x＜－2或x≥1}．练习3已知数轴上的三个区间：(－∞，－3)，(－3，4)，(4，＋∞)．当x在每个区间上取值时，试确定代数式x＋3的值的符号．填制表格：集合区间名称数轴表示{x|a＜x＜b}{x|a≤x≤b}{x|a≤x＜b}{x|a＜x≤b}集合区间数轴表示{x|x＞a}{x|x＜a}{x|x≥a}{x|x≤a}2.3一元二次不等式1．一元二次不等式的概念．只含有一个未知数，未知数的最高次项的次数是2，且系数不为0的整式不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)中，当b2－4ac＞0时进行求解：(1)两边同除以a，得到二次项系数为1的不等式；(2)分解因式变为(x＋x1)(x＋x2)＞0或(x＋x1)(x＋x2)＜0的形式．练习1判断下列不等式是否是一元二次不等式：(1)x2－3x＋5≤0；(2)x2－9≥0；(3)3x2－2x＞0；(4)x2＋5＜0；(5)x2－2x≤3；(6)3x＋5＞0；(7)(x－2)2≤4；(8)x2＜4．2．解一元二次不等式．例1解下列不等式：(1)x2－x－12＞0；(2)x2－x－12＜0．练习2解一元二次不等式：（1）(x＋1)(x－2)＜0；2）(x＋2)(x－3)＞0；（3）x2－2x－3＞0；（4）x2－2x－3＜0．(5)x2＋8x＋15＞0(6)－x2－3x＋4＞0例2解下列不等式：(1)x2－4x＋4＞0；(2)x2－4x＋4＜0．例3解不等式：(1)x2－2x＋3＞0；(2)x2－2x＋3＜0．练习1解下列不等式：(1)x2－2x＋3≤0；(2)x2＋4x＋5＞0；解一元二次不等式的步骤：S1求出方程ax2+bx+c＝0的判别式＝b2－4ac的值．S2（1）＞0，则二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不等的根x1，x2（设x1＜x2），则ax2+bx+c＝a(x－x1)(x－x2)．不等式a(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－，x1)∪(x2，＋)；不等式a(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)．（2）＝0，通过配方得a(x＋b2a)2＋4ac－b24a＝a(x＋b2a)2．由此可知，ax2+bx+c＞0的解集是(－，－b2a)∪(－b2a，＋)；ax2+bx+c＜0的解集是．（3）＜0，通过配方得a(x＋b2a)2＋4ac－b24a（4ac－b24a＞0）．由此可知，ax2+bx+c＞0的解集是R；ax2+bx+c＜0的解集是．练习2解下列不等式：（1）4x2＋4x－3＜0；（2）3x≥5－2x2；（3）9x2－5x－4≤0；（4）x2－4x＋5＞0．五、基础知识训练：（一）选择题：1.(97高职-1)不等式x2+2x+1＞0的解集是()A.ΦB.RC.{x|x=-1}D.{x|x≠-1,x∈R}2.不等式(x2-4x-5)(x2+8)＜0的解集是()A.{x|-1＜x＜5}B.{x|x＜-1或x＞5}C.{x|0＜x＜5}D.{x|-1＜x＜0}3.不等式ax2+2x+c＞0(a≠0)的解集是空集的充要条件是()A.a＜0且b2-4ac＞0B.a＜0且b2-4ac＜0C.a＜0且b2-4ac≥0D.a＜0且b2-4ac≤04.下列不等式中,解集是空集的不等式是()A.4x2-20x+25＞0B.2x2-34x+6≤0C.3x2-3x+1＞0D.2x2-2x+1＜05.若x2-mx+1＜0,则实系数m的取值范围为()A.m＞2或m＜-2B.-2＜m＜2C.m≠±2D.m∈R6.若ax2+5x+c＞0的解集是}2131{xx,则a+c的值为()A.7B.5C.-5D.-7（二）填空题：7.已知不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＜3或x＞2},则b=，c=.8.已知(m+3)x2+(2m-1)x+2(m-1)＜0对任意x∈R都成立,则实系数m的取值范围为.（三）解答题：9.设集合A={x|x2-2x-8≥0,x∈R},B={x|1-|x-a|＞0,x,a∈R},A∩B=Φ,求a的取值范围.2.4含有绝对值的不等式1.|a|＝(a＞0)(a＝0)(a＜0)一、|a|的几何意义数a的绝对值|a|，在数轴上等于对应实数a的点到原点的距离．例如，|－3|＝3，|3|＝3．二、|x|＞a与|x|＜a的几何意义问题1（1）解方程|x|=3，并说明|x|=3的几何意义是什么？（2）试叙述|x|＞3，|x|＜3的几何意义，你能写出其解集吗？结论：|x|＞a的几何意义是到原点的距离大于a的点，其解集是{x|x＞a或x＜a}．|x|＜a的几何意义是到原点的距离小于a的点，其解集是{x|a＜x＜a}．三、解含有绝对值的不等式练习1解下列不等式（1）|x|＜5；（2）|x|－3＞0；（3）3|x|＞12．例1解不等式|2x－3|＜5例2解不等式|2x－3|≥5．x03-3四、含有绝对值的不等式的解法总结|ax＋b|＜c(c＞0)的解法是先化不等式组c＜ax＋b＜c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．|ax＋b|＞c（c＞0）的解法是先化不等式组ax＋b＞c或ax＋b＜－c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．练习2解下列不等式（1）|x＋5|≤7；（2）|5x－3|＞2五、基础知识训练：（一）选择题：1.不等式|x-2|＞1的解集是()A.(1,3)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1)∪(3,+∞)2.不等式|2-3x|＞5的解集是()A.(-1,37)B.(37,+∞)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)∪(37,+∞)3.不等式|2-3x|≤21的解集是()A.{x|21＜x＜65}B.{x|x＜21或x＞65}C.{x|x≤21或x≥65}D.{x|21≤x≤65}4.已知A={x2x≥5},B={xx3＜2},则A∪B等于()A.{x|x≤7或x＞1}B.{x|-7≤x＜1}C.{x|x∈R}D.{x|x≤7或x≥3}5.已知A={x2x＜3},B={x1x＞1},则A∩B等于()A.{x|x＜0或x＞2}B.{x|-1＜x＜5}C.{x|-1＜x＜0}D.{x|-1＜x＜0或2＜x＜5}（二）填空题：6.若不等式|x-a|＜b的解集为{x|-3＜x＜9},则ba2log=.7.若{x||a-2x|＞b,b＞0}={x|x＜-5或x＞4},则a2+b=.8.若x∈Z,则不等式382x的解集是.不等式作业一、选择题（1）不等式123x的解集为（）A.,131,B.1,31C.,131,D.1,31(2)、设集合(,1),(0,),AB则AB_______A．RＢ．,1OＣ．,0Ｄ．1,(3)、不等式21x用区间表示为:()A(1,2)B(1,2]C[1,2)D[1,2](4)、不等式22xx0的解集是()A．(－2，1)B．(－∞，－2)∪(1，+∞)C．(－1，2)D．(－∞，－1)∪(2，+∞)(5)、2,5A，3,6B，则AB（）．A、2,5B、3,6C、3,5D、3,5(6)、设0,,2,3,AB则AB_______Ａ．2,Ｂ．2,0Ｃ．0,3Ｄ．0,3(7)、已知全集U=｛0，1，2，3｝，A=｛1，2｝，则CUA=（）A、｛0｝B、｛3｝C、｛0，3｝D、｛0，1，3｝(8)、不等式2232xx≥0的解集为()A.12,∪2,B.12,2C.12,∪2,D.12,2(9)、已知全集UR，1,2A，则CUA=（）A.,12,B.,12,C.,12,D.,12,（10）、一元二次方程042mxx有实数解的条件是m∈（）A.,44,B.4,4C.,44,D.4,4二．填空题⑴不等式352x的解集为（2）设1,3,3,6,AB，则AB．（3）24x的解集（4）．已知全集U=｛0，1，2，3｝，A=｛1，2｝，则CUA=（）A、｛0｝B、｛3｝C、｛0，3｝D、｛0，1，3｝(5)不等式组0201xx的解集为；(6)不等式∣2x－1∣＜3的解集是；（7）集合2xx用区间表示为．（8）设全集,3,RA，则CA．（9）当x时，代数式xx42有意义（10）不等式021xx的解集为2.解下列各不等式⑴220xx⑵052xx⑶02322xx⑷2212x（5）4130x