2013年考研数学一真题及答案解析(完整版)

2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析1.已知极限0arctanlimkxxxcx，其中k，c为常数，且0c，则（）A.12,2kcB.12,2kcC.13,3kcD.13,3kc答案（D）解析：用洛必达法则2221121000011arctan1111limlimlimlim(1)kkkkxxxxxxxxxcxkxkxxkx因此112,kck，即13,3kc2.曲面2cos()0xxyyzx在点(0,1,1)处的切平面方程为（）A.2xyzB.0xyzC.23xyzD.0xyz答案（A）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)xyznFFFxyxyxxyzyn切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0xyz，即2xyz。3.设1()2fxx，102()sin(1,2,)nbfxnxdxn，令1()sinnnSxbnx，则（）A.34B.14C.14D.34答案（C）解析：根据题意，将函数在[1,1]展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2xxfxxx，它的傅里叶级数为()sx，它是以2为周期的，则当(1,1)x且()fx在x处连续时，()()sxfx。91111()()()()44444sssf。4.设221:1Lxy，222:2Lxy，223:22Lxy，224:22Lxy为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iiLyxIydxxdyi，则1234max,,,IIIIA.1IB.2IC.3ID4I答案（D）解析：由格林公式，22(1)2iiDyIxdxdy14DD,在4D内22102yx，因此14II24242222222\(1)(1)(1)222DDDDyyyIxdxdyxdxdyxdxdy在4D外22102yx，所以24II32cos2sin222223[0,1][0,2]2121/2/22323220000001(1)(12cossin)22111122cossin224cossin24241!!111!!22442!!2422!!2xryrDryIxdxdyrrrdrddrdrdrdrdd111242883cos22sin222224[0,1][0,2]2121/2/2232322000000(1)(1cossin)2112cossin24cossin441!!11!!1324422!!242!!24442xryrDryIxdxdyrrrdrddrdrdrdrdd34II5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价6.矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件为（）A.0,2abB.0,ab为任意常数C.2,0abD.2,ab为任意常数7.设123,,XXX是随机变量，且1(0,1)XN，22(0,2)XN，23(5,3)XN，122(1,2,3)iPPXi，则（）A.123PPPB.213PPPC.322PPPD132PPP8.设随机变量()Xtn,(1,)YFn，给定(00.5)aa，常数c满足PXca，则2PYc()（9）设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定，则01lim[()1]nnfn＝。(10)已知y1=e3x–xe2x，y2=ex–xe2x，y3=–xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=。（11）设224sin()sincostxtdytytttdx为参数，则。（12）21ln(1)xdxx。（13）设A=(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝。（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}=三．解答题：（15）（本题满分10分）计算dxxxf)(10，其中f(x)＝.)1ln(1dtttx解：使用分部积分法和换元积分法1010222ln(1)22()|224ln(1)4ln(1)|4ln(1)4ln244ln242114ln284ln28(1)4ln28(arctan)11xdxdfxdxdxxdxdxdxtdtxtdtdttttt111110000011100021100f(x)f(x)xxf(x)xxxxxtxxt110|4ln282(16)(本题10分)设数列｛an｝满足条件：0123,1(1)0(2).nnaaannan＝，＝S（x）是幂级数0.nnnax的和函数（1）证明：()()0;nSxSx（2）求().Sx的表达式(I)证明：由题意得11nnnsxnax2220112nnnnnnsxnnaxnnax+2120,1,2,nnannansxsx即0sxsx(II)解：0sxsx为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210,从而1，于是12xxsxCeCe，由0103,01sasa，得12121231,21CCCCCC所以2xxsxee（17）（本题满分10分）求函数的极值yxexyyxf)3(),(3.解答：先求驻点，令2331()031(1)03xyxxyyfxyxefyxe，解得112433xxyy或为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数232331(22)31(1)31(2)3xyxxxyxyxyyyfxxyxefxyxefyxe在点2(1,)3处，555333222(1,),(1,),(1,)333xxxyyyAfeBfeCfe因为20,0AACB,所以2(1,)3不是极值点。类似的，在点4(1,)3处，111333444(1,)3,(1,),(1,)333xxxyyyAfeBfeCfe因为2230,20AACBe，所以4(1,)3是极小值点，极小值为1133441(1,)()333fee(18)(本题满分10分)设奇函数f(x)在1,1上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：（I）存在.1)(1,0f），使得（（Ⅱ）存在1,1()1.ff（），使得（）19.(本题满分10分)设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面0,2zz所围成的立体为。（1）求曲面的方程；（2）求的形心坐标。解：20002222002022202222220022111,1,11:111,,,,,,11+22120,016102214233zzABxyzLMxyzLMxyzxyxyxzxyzzyzxyzzxyzdvzdvdvdzdxdyzzdz对应于上的点则由得：即：显然222320022116142282337570,05zzzdvzdzdxdyzzzdzz重心坐标，20.（本题满分11分）设101,101aABb，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。第20题解：令1234xxCxx，则1213243412110xxxaxxaxaACxxxx1212134343110xxxxaxaCAxxxxax2312413423xaxaxxaxACCAxxxxax，则由ACCAB得2312413423011xaxaxxaxxxxxaxb，此为4元非齐次线性方程组，欲使C存在，此线性方程组必须有解，于是01000100101111010101010010111101110101010010010aaaaaaaAaaababab101110100000010000aab所以，当1,0ab时，线性方程组有解，即存在C，使ACCAB。又10111011000000000000A,所以12112121111100100010cccXcccc21.（本题满分11分）设二次型22123112233112233(,,)2()()fxxxaxaxaxbxbxbx，记123aaa，123bbb。（1）证明二次型f对应的矩阵为2TT；（2）若,正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为22122yy。证明：（3）1111123212321232123233332112,,,,,,,,2222(2)22=2(2TTTTTTTTTTTTTaxbxfxxxaaaaxxxxbbbbxaxbxXXXXXXfAAA故的矩阵A=为的对应于的特征向量又2232212)=2==1223=02.TTTTArArrrrfyy为的对应于的特征向量故在正交变换下的标准型为22.（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为21,03,()0,xxfxa其他令随机变量2,1,,12,1,2xYxxx（1）求Y的分布函数；（2）求概率PXY.23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为23,0,(;)0,xexfxx其他其中为未知参数且大于零，12,,nXXX，为来自总体X的简单随机样本。（1）求的矩估计量；（2）求的最大似