工程塑性理论主应力法06

8.4主应力法主应力法作为求塑性加工问题近似解的一种方法，在工程上得到了广泛的应用。该方法是以均匀变形假设为前提，将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程，将米塞斯屈服准则的二次方程简化为线性方程，最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题，从而获得工程上所需要的解。主应力法的数学运算是比较简单的，由此可以确定材料特性、变形体几何尺寸、摩擦系数等工艺参数对变形力、变形功的影响；可确定可能的最大变形量、最小可轧厚度、镦粗或轧制时的中性面位置等。但是，由于上述基本假设的限制，采用主应力法无法分析变形体内的应力分布。主应力法又称切块法、初等解析法、力平衡法等。8.4.1主应力法的基本原理（1）将问题简化成平面问题或轴对称问题，假设变形是均匀的。在平面应变条件下，变形前的平截面在变形后仍为平截面，且与原截面平行；在轴对称变形条件下，变形前的圆柱面在变形后仍为圆柱面，且与原圆柱面同轴。对于形状复杂的变形体，可以根据变形体流动规律，将其划分成若干部分，对每一部分分别按平面问题或轴对称问题进行处理，最后“拼合”在一起，即可得到整个问题的解。（2）根据变形体的塑性流动规律切取单元体，单元体包含接触表面在内，因此，通常所切取的单元体高度等于变形区的高度，将剖切面上的正应力假设为均匀分布的主应力，因此，正应力的分布只随单一坐标变化，由此将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程。（3）在应用米塞斯屈服准则时，忽略切应力和摩擦切应力的影响，将米塞斯屈服准则二次方程简化为线性方程。即在主应力法中所采用的屈服准则为:◆对于平面应变问题，习惯用剪切屈服强度k表示，即kyx2对于轴对称问题，习惯用屈服应力σs表示，即szr（4）接触表面上的摩擦切应力分布采用简单的模型，例如库仑摩擦模型和常摩擦力模型式等。8.4.2长矩形板镦粗问题dx0xbxyhxx+dxPfPf图8-5长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量p假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零，由此可将长矩形板镦粗视为平面应变问题。dx0xbxyhxx+dxPfPf图8-5长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量pl（1）切取单元体dx0xbxyhxx+dxPfPf图8-5长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量（2）列出单元体的静力平衡方程沿x方向列出单元体的静力平衡方程，即02ldxlhlhdFfxxxx02hdxdfx（3）代入摩擦条件假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即pf（4）引用屈服准则工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力p取为正值。沿y方向列平衡方程：pldx+σyldx=0p=-σy根据应力应变顺序对应规律εxεy，所以，σxσy，因此，屈服准则式变为如下形式，即kpxyx2kpxyx2将上式微分，可得dσx=-dp，02hpdxdp（5）积分并确定积分常数02hpdxdpxhCep2根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=0，由屈服准则式可知：kpbx22kpx2222bhkeCxbhkep222（6）求变形力P变形力可由下式求出，即1242202220hbbxbhbeklhdxeklldxpP（7）求平均压力12hbebkhlbPp（8）变形功W设矩形板变形前的高度为h0、变形后的高度为h1，在变形的某一瞬时，矩形板高度为h，在变形力P作用下，高度发生变化dh，则变形功为1010hhhhdhhVpPdhW根据体积不变条件，可得b=V/lh，可得1012hhhbdhhVebkhW10212hhlhVhdheklW8.4.2长矩形板镦粗问题dx0xbxyhxx+dxPfPf图8-5长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量pmkf假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零，由此可将长矩形板镦粗视为平面应变问题。dx0xbxyhxx+dxPfPf图8-5长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量plmkf（1）切取单元体dx0xbxyhxx+dxPfPf图8-5长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量（2）列出单元体的静力平衡方程沿x方向列出单元体的静力平衡方程，即02ldxlhlhdFfxxxx02hdxdfx（3）代入摩擦条件假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即mkf（4）引用屈服准则工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力p取为正值。沿y方向列平衡方程：pldx+σyldx=0p=-σy根据应力应变顺序对应规律εxεy，所以，σxσy，因此，屈服准则式变为如下形式，即kpxyx2kpxyx2将上式微分，可得dσx=-dp，02hmkdxdp（5）积分并确定积分常数Cxhmkp2根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=0，由屈服准则式可知：kpbx22kpx2222bhmkkCxbhmkkp222（6）求变形力P变形力可由下式求出，即hmbklbdxxbhmkkklldxpPbb4122422020（7）求平均压力hmbklbPp4128.4.2长矩形板镦粗问题mkfdx0xbxyhxx+dxPfPf图8-5长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量pq假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零，由此可将长矩形板镦粗视为平面应变问题。dx0xbxyhxx+dxPfPf图8-5长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量plmkf（1）切取单元体dx0xbxyhxx+dxPfPf图8-5长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量（2）列出单元体的静力平衡方程沿x方向列出单元体的静力平衡方程，即02ldxlhlhdFfxxxx02hdxdfx（3）代入摩擦条件假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即mkf（4）引用屈服准则工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力p取为正值。沿y方向列平衡方程：pldx+σyldx=0p=-σy根据应力应变顺序对应规律εxεy，所以，σxσy，因此，屈服准则式变为如下形式，即kpxyx2kpxyx2将上式微分，可得dσx=-dp，02hmkdxdp（5）积分并确定积分常数Cxhmkp2根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=-q，由屈服准则式可知：qkpbx22kpx222)2(bhmkqkCxbhmkqkp22)(28.4.2长矩形板镦粗问题dx0xbxyhxx+dxPfPf图8-5长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量pqmkfpf8.4.3圆柱体镦粗问题zrdpτfσrσr+dσrσθσθdθrzRdrh图8-6圆柱体镦粗问题及作用在单元体上的应力分量在均匀变形假设条件下，圆柱体在压缩过程中，不会出现鼓形，因此，圆柱体镦粗属于轴对称问题，宜采用圆柱坐标（r,θ,z）。设h为圆柱体的高度R为半径σr为径向正应力σθ为子午面上的正应力τf为接触表面上的摩擦切应力。zrdpτfσrσr+dσrσθσθdθrzRdrh图8-6圆柱体镦粗问题及作用在单元体上的应力分量沿径向列出单元体的静力平衡方程，即02sin22dhdrrdrdrhdhddrrdfrrr22sindd02rhdrdrfrrdrdrrdrrrdrrd222ddrrrdr02hdrdfr02rhdrdrfrr假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即pf02hpdrdrr1szr22222srzzrszr根据应力应变顺序对应规律εrεz，所以，σrσz，因此，屈服准则式变为如下形式，即szr沿y方向列平衡方程：p2πrdr+σz2πrdr=0p=-σzzpdpdrsrzrp02hpdrdp应力边界条件为，当r=R时，σr=0，由屈服准则式可知:rhCep2sRrpRhseC2变形力为:)(2rRhsepRhehrdrerpdrPRhRsrRhsR212222022)(20平均压力为:RheRhRPpRhs212222228.4.4拉拔8.4.4.1平面应变拉拔dxσx+dσxσhh+dhτfpnpnτfhσxxodh/2hαh1h0σx1hx图8-7宽带材平面应变拉拔及单元体上的应力分量σx0（1）拉拔应力dxσx+dσxσhh+dhτfpnpnτfhσxxodh/2hαh1h0σx1hx图8-7宽带材平面应变拉拔及单元体上的应力分量σx0沿坐标方向列出单元体的静力平衡方程，即0coscos2sincos2ldxldxphlldhhdfnxxxdxσx+dσxσhh+dhτfpnpnτfhσxxodh/2hαh1h0σx1hx图8-7宽带材平面应变拉拔及单元体上的应力分量σx0假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即02tan2dxdxphddhfnxxnfp02tan2dxpdxphddhnnxx由图中几何关系可得tan2dhdx为了确定pn与σx之间的关系，首先需要找pn与σh之间的关系，为此沿h坐标轴方向列出静力平衡方程，即0sincoscoscosldxpldxpldxnnh对于大多数拉拔过程，模具的半锥角α是比较小的，并且润滑条件也较好，因此，摩擦系数μ很小，上式中的μtanα远小于1，可略去。则有0tannnhpphnp根据应力应变顺序对应规律可知，εxεh，则σxσh，可得kpnxhx2BtanhdhBkBdxx12应力边界条件为：当h=h0时，σx=σx0，代入上式，可得积分常数，即BxChBkB12BkBhCxB12100模具上的压力分布，即BBkhhBkBxBx0012121kBBkhhBkpxBxn2121200BkBkBhhBxBx121210011当h=h1时，σx=σx1，σx1称为拉拔应力，即拉拔时的变形量通常用面缩率r来表示，在平面应变条件下，面缩率r可用下式来表示，即%100010hhhrBBkrBkBxBx01121121（2）拉拔时一道次的最大面缩率拉拔应力随道次面缩率的增加而增大，当拉拔应力达到拉拔模出口端外部产品的屈服应力，也就是材料的瞬时屈服应力时，拉拔产品将产生塑性变形，其应力和应变状态与单向拉伸实验完全相同，此时拉拔过程无法稳定进行。因此，拉拔时一道次最大面缩率的计算依据是拉拔应力等于拉拔模出口端外部材料的瞬时屈服应力。假设材料是