恒成立与存在性问题

函数中的恒成立和存在性问题(1)恒成立问题1.∀x∈D,均有f(x)A恒成立，则f(x)minA；2.∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则f(x)maxA.3.∀x∈D,均有f(x)g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)0∴F(x)min04.∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)﹤0∴F(x)max﹤05.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)g(x2)恒成立，则f(x)ming(x)max6.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)g(x2)恒成立，则f(x)maxg(x)min(2)存在性问题1.∃x0∈D,使得f(x0)A成立，则f(x)maxA；2.∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则f(x)minA3.∃x0∈D,使得f(x0)g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)∴F(x)max04.∃x0∈D,使得f(x0)g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)∴F(x)min05.∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)maxg(x)min6.∃x1∈D,∃x2∈E,均使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)ming(x)max(3)相等问题1.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{f(x)}{g(x)}2.∃x1∈D,∀x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{f(x)}{g(x)}3.∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{f(x)}{g(x)}≠(4)恒成立与存在性的综合性问题1.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)ming(x)min2.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)maxg(x)max(5)恰成立问题1.若不等式f(x)A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D；2.若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为D.值范围。取成立，求使得若已知两个函数例axgxfRxaxxgxxf)()(,,)(,1)(1.)()(,,2,ln2)(,)(22axgxfexxxgaxxf成立，求使若。已知函数例.)()(,,2)1(,ln2)(,)(22axgxfexxxgaxxf成立，求使若。已知函数例.)()(,,2,)2(2121的范围实数成立，求正使若axgxfexx2.设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[32，＋∞)，f(xm)－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，求实数m的取值范围[解析]∵f(x)＝x2－1，x∈[32，＋∞)，f(xm)－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)对x∈[32，＋∞)恒成立．即(xm)2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)恒成立.即(1m2－4m2－1)x2＋2x＋3≤0恒成立.即1m2－4m2－1≤－2x－3x2恒成立.g(x)＝－2x－3x2＝－3x2－2x＝－3(1x2＋23x)＝－3(1x＋13)2＋13.∵x≥32，∴0＜1x≤23，∴当1x＝23时，g(x)min＝－83.∴1m2－4m2－1≤－83.整理得12m4－5m2－3≥0，(3m2＋1)(4m2－3)≥0.∵3m2＋10，∴4m2－3≥0.即：m≥32或m≤－32.(2)已知f(x)=lnx:①设F(x)=f(x+2)-，求F(x)的单调区间；②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1]，x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围.2xx1【解题指南】(2)由题意只需解不等式F′(x)＞0和F′(x)＜0即可得到单调区间；原不等式恒成立可转化为恒成立，进一步转化为成立.2x1ln3ma4m2x12maxminx1(ln)(3ma4m)2x1(2)①F(x)=ln(x+2)-定义域为：(-2,-1)∪(-1,+∞).F′(x)==令F′(x)＞0，得单调增区间为和令F′(x)＜0，得单调减区间为和2xx12212(x1)2x12x2(x1)x2(x1)2222(x1)2(x2)x3,(x2)(x1)(x2)(x1)(2,3)(3,)(3,1)(1,3)②不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4化为：ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4即≤3ma+4-m2.现在只需求y=(x∈[0,1])的最大值和y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])的最小值.因为在[0，1]上单调递减,所以y=(x∈[0,1])的最大值为0,x1ln2x1x1ln2x1x1112x122(2x1)x1ln2x1而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数，故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到：解得0≤m≤1或-1≤m＜0，所以m的取值范围是[-1，1].2203m4m03m4m,3m03m0或＜的取值范围。求使得均存在若对任意）设（的单调区间；求已知函数axgxfxxxxxgxfRaxaxxf),()(],1,0[),,0(,22)(2)()1(ln)(.121212练习的取值范围求都有使得任意的）条件改为：对任意若本题（axgxfxx)()(]1,0[),,0(22121两个变量•大小问题•相等问题)()(,,2121xgxfDxx使得)()(,,2121xgxfxx都有对)()(,,2121xgxfxx有对)()(,,2121xgxfDxx都有maxmin)()(xgxf)()(,,2121xgxfDxx使得)()(,,2121xgxfxx有对)()(,,2121xgxfxx有对minmax)()(xgxfmaxmax)()(xgxfminmin)()(xgxf两值域有交集值域值域)()(xgxf值域值域)()(xgxf,ln2)(,)(:2xxgaxxf已知函数练习axgxfexx成立，求使若)()(,,2,)2(2121axgxfexx成立，求使若)()(,,2,)1(2121axgxfexex求成立，使若)()(,,2,,2)3(2121(a0)的范围。，求使得，，均存在若对任意的、已知例axgxfxxxxxgxaxxf21212)(1,0),0(,22)(,ln)(3的问题转化为maxmaxxgxf的范围。成立，求都有若对任意的、已知两个函数例mxfxgxxxxxgmxxexxf)()(),,0(,,ln)(,131)(42121223的问题转化为minmax)()(xfxg两个变量•大小问题•相等问题)()(,,2121xgxfDxx使得)()(,,2121xgxfxx都有对)()(,,2121xgxfxx有对)()(,,2121xgxfDxx都有maxmin)()(xgxf)()(,,2121xgxfDxx使得)()(,,2121xgxfxx有对)()(,,2121xgxfxx有对minmax)()(xgxfmaxmax)()(xgxfminmin)()(xgxf两值域有交集值域值域)()(xgxf值域值域)()(xgxf恒成立和存在性问题•把含有相同变量的移到同一侧•不同的变量尽量拨开分离开放两侧•转化为两个函数值域或最值的问题