2015中考数学全景透视复习课件第17讲三角形与全等三角形

第17讲三角形与全等三角形考点一三角形的分类按边分：三角形不等边三角形三边互不相等等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形按角分：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形考点二三角形的性质1．三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3．如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性．4．三角形中的重要直线或线段(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等．(5)中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．温馨提示：三角形边、角之间的关系是三角形的重要性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到.学习时应结合图形，利用数形结合思想.三角形的角平分线、高、中线、中位线均为线段.考点三全等三角形的概念与性质1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角分别相等；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、高、中线、中位线)相等、周长相等、面积相等．考点四全等三角形的判定1．如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS.2．如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS.3．如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA.4．如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS.5．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL.温馨提示：1.判定三角形全等必须有一组对应边相等；2.判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定.考点五角平分线的性质和判定1．角平分线的性质(1)角平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．2．角平分线的表示方法如图，OC平分∠AOB，则(1)∠AOC＝∠BOC；(2)∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC；(3)∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB.考点一三角形的三边关系例1(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2,3，x，则x的值可以为________(只需填一个数)．【点拨】由三角形的三边关系，可得3－2＜x＜3＋2，即1＜x＜5，取此范围内的任意数皆可．【答案】3(答案不唯一，只需大于1且小于5即可)方法总结：已知三角形的两边求第三边或三角形的周长的取值范围，可以根据三角形的三边关系，确定第三边的范围，再确定周长的范围.考点二三角形的内角和与外角例2(2014·怀化)如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，延长BC到D，则∠ACD＝________°.【点拨】由三角形外角的性质，可得∠ACD＝∠A＋∠B＝30°＋50°＝80°.【答案】80方法总结：在三角形中，求外角的度数，可以利用外角的性质将其转化为三角形的内角，然后根据内角和求解.考点三全等三角形的性质与判定例3(2014·南充)如图，AD，BC相交于点O，OA＝OC，∠OBD＝∠ODB.求证：AB＝CD.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用．证明：∵∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD.在△AOB与△COD中，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，∴△AOB≌△COD(SAS)．∴AB＝CD.考点四全等三角形的开放性问题例4(2014·牡丹江)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF.请你添加一个条件(只需添加一个即可)，使△ABC≌△DEF.【点拨】因为BE＝CF，所以BC＝EF.又因为AB＝DE，所以考虑两种添加方法：(1)添加AC＝DF，可由“SSS”证明△ABC≌△DEF；(2)添加∠B＝∠DEF，可由“SAS”证明△ABC≌△DEF.【答案】AC＝DF或∠B＝∠DEF方法总结：根据题目给出的条件和图形隐含的条件，考虑能用哪种方法证明，再看缺少的条件，添加即可.考点五角平分线的性质的应用例5(2014·遂宁)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．3B．4C．6D．5【点拨】如图，过点D作DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DF＝DE＝2，△ABD的面积为12×DE×AB＝4，又∵△ABC的面积为7，∴△DAC的面积为3，∴12×DF×AC＝3，则AC＝3，故选A.【答案】A方法总结：题目中若有角平分线这一条件，常考虑作垂线，利用角平分线的性质证明线段相等或求角度问题.1．下面三根木条能组成三角形的是(D)A．1cm,2cm,5cmB．2cm,2cm,4cmC．2cm,3cm,5cmD．2cm,3cm,4cm解析：A中，1cm＋2cm＜5cm，不能组成三角形；B中，2cm＋2cm＝4cm，不能组成三角形；C中，2cm＋3cm＝5cm，不能组成三角形；D中，2cm＋3cm＞4cm，能组成三角形．故选D.2．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是(B)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：三角形的内角和是180°，因此这个三角形的三个内角分别是180°×29＝40°，180°×39＝60°，180°×49＝80°，故这个三角形是锐角三角形．故选B.3．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为()A．40°B．45°C．50°D．55°解析：∵∠B＝67°，∠C＝33°，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－67°－33°＝80°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝12∠BAC＝40°.故选A.答案：A4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为()A．6B．7C．8D．9解析：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠CBE，∠NCE＝∠BCE.∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB.∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝NC，∴MN＝ME＋EN，即MN＝BM＋CN＝9.故选D.答案：D5．如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有(C)A．1组B．2组C．3组D．4组解析：①由SSS证明△ABC≌△DEF；②由SAS证明△ABC≌△DEF；③由ASA证明△ABC≌△DEF；④满足两边及一边的对角分别相等，不能证明△ABC≌△DEF.综上所述，故选C.6．如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.求证：BC＝ED.证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD.又∵AB＝CE，AC＝CD，∴△BAC≌ECD(SAS)．∴BC＝ED.7．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．解：(1)证明：在△ABE和△DCE中，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，AB＝DC，∴△ABE≌△DCE.(2)由(1)△ABE≌△DCE，可得BE＝CE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠AEB是△EBC的外角，∴∠AEB＝∠EBC＋∠ECB＝2∠EBC.∵∠AEB＝50°，∴∠EBC＝12∠AEB＝25°.考点训练一、选择题(每小题3分，共36分)1．(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是(B)A．5B．10C．11D．12解析：设第三边的长为x，由三角形三边关系，可得8－3＜x＜3＋8，即5＜x＜11.故选B.2．(2014·黄石)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(C)A．30°B.60°C.90°D.120°解析：因为矩形的四个角都是直角，则∠1＋∠2＝90°.故选C.3．(2014·湘潭)如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE＝15米，则AB＝______米．()A．7.5B．15C．22.5D．30解析：∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝30(米)．故选D.答案：D4．(2014·河北)如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是()A．20°B．30°C．70°D．80°解析：直线a，b相交后可形成一个三角形，由三角形外角的性质可知，a，b相交所成锐角为100°－70°＝30°.故选B.答案：B5．(2014·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°解析：∵∠B＝46°，∠C＝54°，∴∠BAC＝180°－46°－54°＝80°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝40°.∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝40°.故选C.答案：C6．(2014·深圳)如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF()A．AC∥DFB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．∠ACB＝∠F解析：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A，D都正确；当添加∠A＝∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；但添加AC＝DF时，由SSA不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确．故选C.答案：C7．如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是()A．△AOB≌△BOCB．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EODD．△AOD≌△BOC解析：∵AD＝DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线，∴OD＝OC.∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，AD＝ED，∠ADO＝∠EDO，OD＝OD，∴△AOD≌△EOD(SAS)，故C正确；∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，AD＝BC，∠ADO＝∠BCO，OD＝OC，∴△AOD≌△BOC(SAS)，故D正确；∵△AOD≌△EOD，△AOD≌△BOC，∴△BOC≌△EOD，故B正确．故选A.答案：A8．(2014·厦门)如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC＝BD,AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于()A．∠EDBB．∠BEDC.12∠AFBD．2∠ABF解析：∵AC＝BD,AB＝ED，BC＝BE，∴△ABC≌△DEB，∴∠ACB＝∠EBD.∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠AFB＝∠ACB＋∠EBD，∴∠AFB＝2∠ACB，即∠ACB＝12∠AFB.故选C.答案：C9．(2014·南昌)如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中，不能判断△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DEB．∠B＝∠EC．EF＝BCD．EF∥BC解析：由AB∥DE，AC∥DF，可得∠A＝∠D.又∵AC＝DF，∴A中，AB＝DE，可由“SAS”证明△ABC≌△DEF；B中，∠B＝∠E，可由“AAS”证明△ABC≌△DEF；C中，EF＝BC，不能判断△ABC≌△DEF；D中，EF