黄金分割与分形几何学

“达·芬奇密码”——黄金分割与分形几何学凤·舞·九维空间随着电影《达·芬奇密码》全球热映，这本2004年风靡全世界的小说在两年后又一次席卷全球，成为人们谈论的焦点。作者丹·布朗借用悬念叠生，跌宕起伏的情节，揭露了天主教会为了稳固信仰根基，对历史真相和人类信仰进行无情的隐瞒和欺骗。小说借用伟人达·芬奇的几幅传世巨作，将暗含其中的历史真相——耶稣妻子摸大拉以及耶稣血脉的故事展示给读者，这些巨作隐含的惊天秘密，称之为“达·芬奇密码”。图1小说中重点提到了一个广泛存在于自然界的神秘比例——“黄金分割”，从开场卢浮宫馆长索尼埃临死前留下的那一串斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……，到他将身体摆成的维特鲁维人图案（图2左），从基督教认为的“异教徒”符号，古老宗教中代表宇宙和谐之美的五角星（图2右，相邻线段间比例为黄金分割），到《最后的晚餐》中象征耶稣和摸大拉之间象征圣杯图案的“V”子位置（图2中），都无一例外诠释了“黄金分割”——这个大自然最为神秘的“达·芬奇密码”。图2一、无所不在的黄金分割黄金分割是我们在初中学习平面几何的时候就接触到的知识。如图，设线段AB长度为1，在上面取一点C使得ACABBCAC=，C点被称为线段AB的“黄金分割”点。设AC部分长为X，则11xxx=−，即210xx+−=。解这个方程得：152x−±=。因为X0，所以510.6182x−=≈，1511.6182x+=≈，这两个数就是自然界普遍存在的“黄金分割”数。《达·芬奇密码》中反复提到的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……，其特点为数列中每一项为前两项之和，即11,(2)nnnaaan+−=+≥，这个数列广泛存在于自然界中。（图3）树枝上的分枝数，大多数花的花瓣都是斐波那契数列中的数：例如百合为3，梅花5，桔梗常为8，金盞花13…等等，玫瑰更是按着斐波那契数列由内而外排列（上图中）。斐波那契数列也出現在松果上。如上图右，一片片的鳞片在整粒松果上顺著两组螺旋线排列：一组呈顺时针螺旋，另一组为逆时针螺旋，顺时针螺旋的排列数目是８，而逆时针螺旋方向则为13。向日葵也是一样（上图左），常见的螺旋线数目为34及55，较大的向日葵的螺旋线数目为89及144，更大的甚至还有144及233，這些全都是斐波那契数列中相邻两项的数值。那么斐波那契数列和黄金分割有什么联系呢？用数列中任意一项比上前一项，1/1=1，2/1=2，3/2=1.5,5/3=1.666……,8/5=1.6,13/8=1.625,21/13=1.61538……我们发现项数越大，这个比值越接近黄金数1.618。下图是计算机模拟分布的结果，绿线为黄金数1.618。（图4）除了植物世界外，在动物世界甚至我们人体本身中，黄金分割更是不断地出现。从外观上看大多出现在动物的形体中。如下图，人四肢后肢与前肢的比，身高与肚脐到腿之间距离的比，甚至手指每一节骨头与后面一节骨头的比，都接近黄金数1.618。芭蕾舞演员颠起脚尖跳舞，就是为了让身体的比例更接近黄金分割。小说中提到的达·芬奇作品《维特鲁维人》（见图2）就是他严格按照人体的黄金分割比例绘制成的。（图5）黄金分割在自然界和人体中如此广泛地存在，因此成为人类潜意识中的审美标准，成为了人类艺术的宠儿。绘画和照片中如果把主要景物放在黄金分割位置，将给人一种最美的视觉感受。从古至今许多建筑有遵循着黄金分割的规律，包括金字塔的斜面三角形高与底面半边长之比，雅典神庙和巴黎圣母院的外观，甚至像东方明珠一样许许多多电视塔的观光层位置，都利用黄金分割比给人以美的享受。（图6）细心的读者也许会发现，黄金分割有一种几何上的自相似性，部分与部分的比等于部分与整体的比，等于整体与更大整体的比……20世纪70年代，数学家曼德勃罗（BenoitMandelbrot）提出了“分形”的概念，用来描述自相似性，并首先引入了“分数维”的概念。二、分形几何学分形概念最早出现于Mandelbrot对海岸线测量问题的研究中。对于谋国家海岸线这种不规则图形，如果选取的测量尺度不一样，测量结果将相差甚远。当选择测量尺度很大时，细小的地方没有测量，得到的值会比较小。而用小尺度测量，得到的结果会大得多。用的尺度越小，得到的值将越大。也就是说，现实中这种复杂的不规则边界的图形，没有准确的周长。随着测量尺度的减小它的周长将趋于无穷。如果这种不规则边界呈现出一种小尺度和大尺度相似的特征，并且无限细分下去都存在这种自相似性，我们称这种几何形状为“分形”下图是最典型的分形——Koch曲线，（图7）Koch曲线就是在一个等边三角形一条边上截取中间1/3边长，生成新的等边三角形，然后一直一层一层无限生成下去。定量描述分形结构，需要引入“分数维”这个超越人类整数维思维的概念。我们知道，线的维度是一维，平面维度为二维，立体为三维，物理学中最有希望统一所有基本粒子及其相互作用的理论——超弦理论需要在更高维度的空间中建立，我们暂且不去讨论它。就维度性质而言，1维相对于2维来说，是在一个维度上与其相同，在另一个维度上值为无限小，。因此在2维平面内无限区域一条无限长的直线，他的维度是1。同理如果2维平面内一个有限区域内一条线的维度为1，它必须是一个有限长的线段，这样才能保证它另一个维度值为无限小。那么如果一条无线长的线束缚在平面上一个有限的区域内，另一个维度的值不再是无限小，它的维度将大于1，但是这条无线长的线并没有填满一个平面，因此它的维度也小于2，一维分形就是这样一个束缚在有限平面区域内无限长的线，它的维度是介于1和2之间的分数维度。分形维度计算法则：一、倍形法这是计算分形维数一个最简单有效的方法，读者可以利用它来计算相对简单规则的分形维数。另S为分形的一个层次结构单元边长，ε为上一层次分形结构长度和S的比值，若令上一层次边长为单位长度1，则ε＝1/s，N（ε）为层次分形结构内包含边长S层次结构单元的数目。那么分形维度的计算公式为：log[()]log()SNDεε=如下图，实心平面和立体无论如何分割，带入这个公式计算结果都是2和3。而空心（即没有填满整个平面）的分形结构会得到分数维。（图8）二、取格法（盒子维度）这种方法适用于各种复杂不规则的分形图形，但是一种近似的数值方法。其思想类似于有限元分析，将分形所在的平面分割成众多的小格子，令整个大平面维单位平面，S为小格子边长，ε为ε＝1/s，N（ε）分形图案占据的小格子数。那么分形维度的计算公式为：log[()]log()SNDεε=随着S的减小，即格点数选取的越多，Ds越接近于分形实际的分数维度。如果是一维线段，则显而易见随着格点数目的增加线段占据格点数N（ε）于ε的比趋近于零，Ds趋近于1。如果图形占据了所有小格子，那么它自然占据了所有平面，是二维。一个分形结构自然不会占据平面内所有小格，随着格子取得越小，N（ε）与ε的比会趋近某一个特定值。（图9）关于二维分形结构（即有限空间区域内无限面积的几何面），其分数维数位于整数2和3之间，可以同样利用以上两种计算方法来计算其维度。三，“黄金分割”的分形解密科学家们经过广泛计算，发现自然界的一维分形维度大多集中在1.6—1.7附近，这让人很自然想起神秘的黄金分割率“1.618”。理论上讲，一维分形分数维度可以有无穷多个取值，但自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的这些取值，这跟黄金分割本身又有什么内在联系呢？黄金分割实际上是一种特殊的自相似结构，如果把一条线段AB连接上它的黄金分割线段BC=0.618…×AB排列，BC再连接CD＝0.618…×BC，无限下去，用等比数列求和公式很容易证明，线段的总长度为AB乘上黄金分数，即1.618…×AB。黄金分割充分体现了部分和整体“依次排列”的自相似性。如下图，这种长边与短边比值是黄金数1.618…的矩形称为黄金矩形，是黄金分割自相似性最好的体现。矩形内截取掉一个正方形，剩下的小矩形仍然为黄金矩形。依次无限截取下去，会获得邻近边长比为黄金数，并且依次呈螺旋形排列的自相似正方形。如果将这些正方形内的1/4圆弧连接起来，会构成一个平滑的自相似螺旋，即黄金螺旋。（图10）如图，黄金螺旋便是一个典型的一维分形，我们大致计算一下它的分形维度。用上节提到的取格法，将黄金矩形分成8×8＝64个小的黄金矩形。一般情况下自然界的黄金螺旋有一定粗细，上面有更细微的分形结构，基本能占满它所经过的小格，因此将包含黄金螺旋和与之相切的方格都纳入其中，数得，N（ε）＝29，因此有一定粗细的黄金螺旋分形维度为log291.619327....log8SD==，很接近黄金数1.618。生物界中螺旋形状大多为近似的黄金螺旋——如海螺壳，海马的尾巴，植物叶子，花和果实表面排列等等。（图11）通过研究海螺发现，用一条直线穿过它的螺旋中心，这条直线上它的螺旋相邻圈粗细比值很接近黄金分割（如图11左下）。那么为什么自然界中的螺旋倾向于选择黄金螺旋呢？我们从图10的黄金矩形出发，将黄金矩形每一个小矩形沿对角线向外移动1/2个边长，依次类推，如图12，这些黄金矩形会围成一个基本填满平面区域的螺旋，例如图中红矩形和蓝矩形之间的距离很小。有兴趣的读者不妨画图证明，任何其他矩形以这种方式自相似排列，都会重叠或者在平面上留下很大缝隙。只有黄金矩形会趋向于排满平面。图12中黄金矩形的排列可看成黄金螺旋的离散化，如果将其收缩边缘连续起来，就会出现海螺的那种布满整个平面区域的黄金螺旋。也就是说，只有黄金螺旋这种“依次排列”的自相似才会占满平面区域。看到这里的读者请伸出自己的左手与纸面垂直，然后握拳，看一下你的食指围成的螺旋是不是和图12很像？人体众多骨骼之所以被各个关节黄金分割，正是由于这些骨骼能够围成这种螺旋形状。（图12）见图5，人体处于黄金分割的关节都是能够蜷缩的位置，如手指骨节，肘部，膝盖，颈部，腰腹等等（身体蜷缩时候，蜷缩点位于人体黄金分割——肚脐处），许多哺乳动物关节都具有这种特点，这都是生物经过几十亿年进化的结果，能让身体和四肢完全地蜷缩来抓住东西和自我保护，因此生物界选择了这种没有缝隙的蜷缩——黄金螺旋。如下图，将一个圆周进行黄金分割，它的短弧所对应的角度成为“黄金角”，即360×（1－0.618…）≈137.5°将黄金螺旋上取距离相等的一系列点，发现点于点连线之间的夹角(发散角)都为黄金角。下图计算机模拟结果可看出，发散角为137.4°和137.6°的螺旋都无法填满平面，而恰好发散角为137.5°的黄金螺旋可以填满平面，做到点于点之间距离相等。向日葵和菊花（图3与图11）都满足这样的排布，这样可以使单位面积内花瓣或种子排列数目最多。137.4°137.6°137.5°（图13）除了黄金螺旋之外，生物界其他的分形大多遵循黄金分割原则，其分形维数也很接近黄金数1.618…如数的生长。按照黄金分割比例生长树枝和树叶，会使单位面积接收到最多的阳光，其原理与黄金螺旋相似，即能够布满平面的分形结构。（图14）从上面几个例子的分析可以看出，“黄金分割”这种分形是生物进化的一个“极值”，是生物界自然选择的结果。目前的研究发现，不仅仅是生物界，在自然界很多领域都存在这种自相似倍数为黄金数的分形，诸如一些准晶体结构，高分子，太阳系间行星距离，海浪漩涡等等，都是黄金螺旋分形。准晶体海浪漩涡（图15）分形是研究复杂性科学的一个起始点，复杂性科学自上世纪70年代诞生以来，经历了蓬勃的发展。从分形几何学到非线性动力学，再结合信息论，系统论和控制论，复杂性科学正逐渐超越“还原论”成为现代科学的主流。一个复杂自适应系统（如软物质，生物体，社会模型等等）必然存在更多的自相似性，黄金分割的比例也会在其中发挥更重要的作用。这个世界有更多的“达芬奇密码”依然在那里等待着人类去破解，让我们拭目以待。